定積分 $\int_{0}^{5} (\frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{5} (\frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を積分します。

$\int (\frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3) dx = \frac{1}{4} \int x^4 dx - \frac{5}{3} \int x^3 dx$

$\int x^4 dx = \frac{x^5}{5} + C_1$

$\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C_2$

したがって、不定積分は以下のようになります。

$\frac{1}{4} (\frac{x^5}{5}) - \frac{5}{3} (\frac{x^4}{4}) + C = \frac{x^5}{20} - \frac{5x^4}{12} + C$

次に、定積分の値を計算します。

$\int_{0}^{5} (\frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3) dx = [\frac{x^5}{20} - \frac{5x^4}{12}]_{0}^{5}$

$= (\frac{5^5}{20} - \frac{5(5^4)}{12}) - (\frac{0^5}{20} - \frac{5(0^4)}{12})$

$= \frac{5^5}{20} - \frac{5^5}{12} - 0$

$= 5^5 (\frac{1}{20} - \frac{1}{12})$

$= 5^5 (\frac{3 - 5}{60})$

$= 5^5 (\frac{-2}{60})$

$= 5^5 (\frac{-1}{30})$

$= \frac{-3125}{30} = \frac{-625}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{-625}{6}$