問題は2つあります。 (1) ある正方形の隣り合った2辺をそれぞれ2cm, 3cm伸ばした長方形の面積が、元の正方形の面積の2倍になるとき、元の正方形の一辺の長さを求める。 (2) 2次方程式 $x^2 + (1-a)x - 12 = 0$ の解の一つが3であるとき、定数 $a$ の値と他の解を求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) ある正方形の隣り合った2辺をそれぞれ2cm, 3cm伸ばした長方形の面積が、元の正方形の面積の2倍になるとき、元の正方形の一辺の長さを求める。

(2) 2次方程式 $x^2 + (1-a)x - 12 = 0$ の解の一つが3であるとき、定数 $a$ の値と他の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正方形の一辺の長さを $x$ とすると、長方形の面積は $(x+2)(x+3)$ と表せる。

正方形の面積は $x^2$ である。

問題文より、$(x+2)(x+3) = 2x^2$ が成り立つ。

これを展開して整理すると、

$x^2 + 5x + 6 = 2x^2$

$x^2 - 5x - 6 = 0$

$(x-6)(x+1) = 0$

$x = 6, -1$

正方形の一辺の長さは正であるから、$x=6$。

(2) 2次方程式 $x^2 + (1-a)x - 12 = 0$ の解の一つが3であるから、$x=3$を代入すると、

$3^2 + (1-a)3 - 12 = 0$

$9 + 3 - 3a - 12 = 0$

$12 - 3a - 12 = 0$

$-3a = 0$

$a = 0$

したがって、2次方程式は $x^2 + x - 12 = 0$ となる。

因数分解すると $(x+4)(x-3) = 0$。

よって、解は $x = 3, -4$。

したがって、他の解は $x = -4$。

3. 最終的な答え

(1) 元の正方形の一辺の長さ：$6$

(2) $a$ の値：$0$

他の解：$-4$