次の式を計算する問題です。 $(\log_2 9 + \log_4 3)(\log_3 8 + \log_9 4)$

1. 問題の内容

次の式を計算する問題です。

$(\log_2 9 + \log_4 3)(\log_3 8 + \log_9 4)$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの括弧の中を簡単にします。

1つ目の括弧：

$\log_2 9 + \log_4 3 = \log_2 9 + \frac{\log_2 3}{\log_2 4} = \log_2 9 + \frac{\log_2 3}{2} = \log_2 3^2 + \frac{1}{2} \log_2 3 = 2\log_2 3 + \frac{1}{2}\log_2 3 = \frac{5}{2}\log_2 3$

2つ目の括弧：

$\log_3 8 + \log_9 4 = \log_3 2^3 + \frac{\log_3 4}{\log_3 9} = 3\log_3 2 + \frac{\log_3 2^2}{2} = 3\log_3 2 + \frac{2\log_3 2}{2} = 3\log_3 2 + \log_3 2 = 4\log_3 2$

したがって、

$(\log_2 9 + \log_4 3)(\log_3 8 + \log_9 4) = (\frac{5}{2}\log_2 3)(4\log_3 2)$

$= \frac{5}{2} \cdot 4 \cdot (\log_2 3)(\log_3 2) = 10 (\log_2 3)(\log_3 2)$

ここで、$\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3}$なので、

$10 (\log_2 3)(\log_3 2) = 10 (\log_2 3)(\frac{1}{\log_2 3}) = 10$

3. 最終的な答え

10