円に内接する四角形ABCDにおいて、$∠P = 28°$、$∠Q = 58°$が与えられているとき、$∠DAB$の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$∠P = 28°$、$∠Q = 58°$が与えられているとき、$∠DAB$の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$∠CBA$を求めます。$∠P = 28°$は円周角であり、弧ACに対する円周角です。同様に、$∠CBA$も弧ACに対する円周角なので、$∠CBA = ∠P = 28°$となります。

次に、$∠BCD$を求めます。三角形QCDにおいて、内角の和は180°なので、$∠QCD = 180° - ∠Q - ∠QDC$となります。$∠QDC$は$∠ADC$と同じなので、$∠QDC = ∠ADC$であり、$∠QCD = 180° - ∠Q - ∠ADC$となります。

また、$∠Q = 58°$なので、$∠QCD = 180° - 58° - ∠ADC = 122° - ∠ADC$となります。

ここで、四角形ABCDは円に内接しているので、対角の和は180°です。したがって、$∠ADC + ∠ABC = 180°$となります。

$∠ABC = ∠CBA + ∠ABD = 28° + ∠ABD$なので、$∠ADC + 28° + ∠ABD = 180°$となり、$∠ADC = 152° - ∠ABD$です。

したがって、$∠BCD = 122° - (152° - ∠ABD) = ∠ABD - 30°$となります。

四角形ABCDが円に内接しているので、$∠DAB + ∠BCD = 180°$です。

したがって、$∠DAB + ∠ABD - 30° = 180°$となります。

$∠DAB = 180° - ∠ABD + 30° = 210° - ∠ABD$となります。

ここで、$∠ADC$を考えると、$∠ADC + ∠ABC = 180°$なので、$∠ADC + 28° = 180°$となり、$∠ADC = 152°$です。

三角形ADQを考えると、$∠ADQ = ∠ADC = 152°$、$∠Q = 58°$なので、$∠DAQ = 180° - 152° - 58° = -30°$となり、矛盾が生じます。

$∠CBA=28^{\circ}$である。

四角形ABCDは円に内接しているので、$∠DAB+∠DCB=180^{\circ}$である。

また、$∠DCB$は、$∠DCQ$と$∠QCB$に分けられる。$∠Q=58^{\circ}$であり、三角形CDQの内角の和から、$∠CDQ = 180^{\circ} - 58^{\circ} - ∠DCQ$。また、$∠CDA + ∠ABC = 180^{\circ}$で、$∠ABC = ∠CBA = 28^{\circ}$だから、$∠CDA = 152^{\circ}$。よって、$∠CDQ = 152^{\circ}$なので、$∠DCQ = 180^{\circ} - 58^{\circ} - 152^{\circ} = -30^{\circ}$。これは矛盾するので、三角形CDQの構成がおかしい。

点PからCに線を引くと、$∠PCB$は円周角である。

$∠DCB = 180 - ∠DAB$より、$∠DAB + ∠BCD = 180°$

$∠P = ∠CBA = 28°$

$∠Q = 58°$

$∠CDA + ∠ABC = 180°$より、$∠CDA = 180° - 28° = 152°$

$∠DCQ = 180° - 58° - 152° = -30°$

$∠DCQ = 58 + x = 180$

$∠DAB = y$

$∠BCD = 180-y$

$angle ADC + angle ABC = 180$

三角形ADQより、$∠DAQ + ∠Q+ angle ADQ=180$

$180 - angle BCD = y$

$angle BCD +angle DAB = 180$

$angle BCD = angle Q + angle P = 58 +28 = 86 angle BCD$

$y+86 = 180$

$y = 94$

3. 最終的な答え

∠DAB = 94°