$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式、不等式を解く。 (1) $\sin \theta + \cos \theta = 1$ (2) $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta \le 1$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式、不等式を解く。

(1) $\sin \theta + \cos \theta = 1$

(2) $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta \le 1$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta + \cos \theta = 1$

両辺を2乗すると、

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1^2$

$\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1$

$1 + 2\sin \theta \cos \theta = 1$

$2\sin \theta \cos \theta = 0$

$\sin 2\theta = 0$

$2\theta = 0, \pi, 2\pi, 3\pi$

$\theta = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$

ここで、2乗したので吟味が必要。

$\theta = 0$のとき、$\sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1$

$\theta = \frac{\pi}{2}$のとき、$\sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1$

$\theta = \pi$のとき、$\sin \pi + \cos \pi = 0 + (-1) = -1 \neq 1$

$\theta = \frac{3\pi}{2}$のとき、$\sin \frac{3\pi}{2} + \cos \frac{3\pi}{2} = -1 + 0 = -1 \neq 1$

よって、$\theta = 0, \frac{\pi}{2}$

(2) $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta \le 1$

左辺を合成すると、

$2\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) \le 1$

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) \le \frac{1}{2}$

ここで、$-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} < 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

$\sin x \le \frac{1}{2}$となる$x$の範囲を考えると、

$-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{3}$

$-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}$ または $\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \le \theta < \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3}$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ または $\frac{7\pi}{6} \le \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 0, \frac{\pi}{2}$

(2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6} \le \theta < 2\pi$