問題は以下の2つです。 (1) 不定積分 $\int (6x^2 - 2x + 5) dx$ を求める。 (2) 定積分 $\int_{-1}^{0} (6x^2 - 2x + 5) dx$ を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) 不定積分 $\int (6x^2 - 2x + 5) dx$ を求める。

(2) 定積分 $\int_{-1}^{0} (6x^2 - 2x + 5) dx$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不定積分の計算

まず、与えられた関数 $6x^2 - 2x + 5$ の不定積分を計算します。

各項ごとに積分を行います。

$\int 6x^2 dx = 6 \int x^2 dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3$

$\int -2x dx = -2 \int x dx = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2$

$\int 5 dx = 5x$

したがって、不定積分は $2x^3 - x^2 + 5x + C$ となります。ここで、$C$ は積分定数です。

(2) 定積分の計算

与えられた関数 $6x^2 - 2x + 5$ の定積分を区間 $[-1, 0]$ で計算します。

まず、不定積分を求めます。これは、(1) で計算した $2x^3 - x^2 + 5x$ を使います（積分定数は無視します）。

次に、不定積分に積分区間の上限と下限を代入し、その差を計算します。

上限（$x=0$）を代入すると、$2(0)^3 - (0)^2 + 5(0) = 0$

下限（$x=-1$）を代入すると、$2(-1)^3 - (-1)^2 + 5(-1) = 2(-1) - 1 - 5 = -2 - 1 - 5 = -8$

定積分は、上限を代入した値から下限を代入した値を引いたものなので、$0 - (-8) = 8$

3. 最終的な答え

(1) 不定積分：$2x^3 - x^2 + 5x + C$

(2) 定積分：$8$