関数 $f(x) = x^3 - 3x$ が与えられています。曲線 $y = f(x)$ を $C$ とし、$C$ 上の点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線を $l$ とします。ただし、$t \geq 0$ とします。 (1) 直線 $l$ の方程式を求めます。 (2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の接点以外の共有点の座標を求めます。 (3) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形のうち、$x \geq 0$ の部分の面積を $S$ とするとき、$S = 12$ となるような $t$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x$ が与えられています。曲線 $y = f(x)$ を $C$ とし、$C$ 上の点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線を $l$ とします。ただし、$t \geq 0$ とします。

(1) 直線 $l$ の方程式を求めます。

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の接点以外の共有点の座標を求めます。

(3) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形のうち、$x \geq 0$ の部分の面積を $S$ とするとき、$S = 12$ となるような $t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を求める。

まず、$f'(x) = 3x^2 - 3$ です。点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線の傾きは $f'(t) = 3t^2 - 3$ です。

したがって、接線 $l$ の方程式は

$y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)$

$y = (3t^2 - 3)x - 3t^3 + 3t + t^3 - 3t$

$y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の接点以外の共有点の座標を求める。

$x^3 - 3x = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

$x^3 - 3x - (3t^2 - 3)x + 2t^3 = 0$

$x^3 - 3t^2 x + 2t^3 = 0$

$(x - t)^2 (x + 2t) = 0$

$x = t$ または $x = -2t$

$x = t$ は接点なので、$x = -2t$ のとき、$y = (-2t)^3 - 3(-2t) = -8t^3 + 6t$

よって、共有点の座標は $(-2t, -8t^3 + 6t)$

(3) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

$C: y = x^3 - 3x$ と $l: y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$ で囲まれた図形の面積 $S$ は

$S = \int_{-2t}^{t} |(x^3 - 3x) - ((3t^2 - 3)x - 2t^3)| dx$

$S = \int_{-2t}^{t} |x^3 - 3t^2 x + 2t^3| dx$

$S = \int_{-2t}^{t} -(x - t)^2(x + 2t) dx$

$S = - \int_{-2t}^{t} (x^3 + 4tx^2 + t^2x -4t^3) dx = -\int_{-2t}^t (x-t)^2(x+2t) dx$

$S = -[\frac{x^4}{4} - t^2x^2 + 2t^3 x]_{-2t}^t$

$S = -[\frac{x^4}{4} - t^2x^2]_{-2t}^{t} = -\int_{-2t}^{t} (x^3 - 3t^2x + 2t^3) dx= -\int_{-2t}^t (x-t)^2(x+2t) dx$

$x-t = u とおくと、x= u+t, dx = du$

範囲: -3t -> 0

$S= - \int_{-3t}^0 u^2(u+3t) du = - \int_{-3t}^0 (u^3 + 3tu^2) du$

$S= - [\frac{u^4}{4} + tu^3]_{-3t}^0 = -[0 - (\frac{81t^4}{4} - 27t^4)] = - [-\frac{27t^4}{4}] = \frac{27t^4}{4}$

問題文より、$x \geq 0$ の部分の面積 $S = 12$ なので、

$\frac{27t^4}{4} = 12$

$27t^4 = 48$

$t^4 = \frac{48}{27} = \frac{16}{9}$

$t^2 = \frac{4}{3}$

$t = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

$t \geq 0$ より、$t = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

(2) $(-2t, -8t^3 + 6t)$

(3) $t = \frac{2\sqrt{3}}{3}$