三角形ABCにおいて、角Bが45度、角Cが120度、辺cの長さが√6であるとき、辺bの長さを正弦定理を用いて求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角Bが45度、角Cが120度、辺cの長さが√6であるとき、辺bの長さを正弦定理を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理より、以下の関係が成り立つ。

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

与えられた値を代入すると、以下のようになる。

$\frac{b}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 120^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、

$\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

これを解くと、

$b = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} \cdot 2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2$

3. 最終的な答え

b = 2