定積分 $\int_{1}^{3} (x^2 - 1) dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{3} (x^2 - 1) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、積分 $\int (x^2 - 1) dx$ を計算する。

$x^2$ の積分は $\frac{x^3}{3}$ であり、 $-1$ の積分は $-x$ である。したがって、

$$$$

\int (x^2 - 1) dx = \frac{x^3}{3} - x + C

$$$$

次に、定積分 $\int_{1}^{3} (x^2 - 1) dx$ を計算する。これは、積分結果 $\frac{x^3}{3} - x$ を、$x = 3$ と $x = 1$ で評価し、その差を計算することで求められる。

$$$$

\int_{1}^{3} (x^2 - 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{1}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} - 3 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1 \right)

$$$$

$$$$

= \left( \frac{27}{3} - 3 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = (9 - 3) - \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{3} \right) = 6 - \left( -\frac{2}{3} \right) = 6 + \frac{2}{3}

$$$$

$$$$

= \frac{18}{3} + \frac{2}{3} = \frac{20}{3}

$$$$

3. 最終的な答え

$\frac{20}{3}$