三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=2$, $C=120^\circ$であるとき、辺$c$の長さを求める問題です。余弦定理を用いることが示唆されています。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=2$, $C=120^\circ$であるとき、辺$c$の長さを求める問題です。余弦定理を用いることが示唆されています。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いると、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$となります。

$a=3$, $b=2$, $C=120^\circ$を代入すると、

$c^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos 120^\circ$

$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$であるので、

$c^2 = 9 + 4 - 12 \cdot (-\frac{1}{2})$

$c^2 = 13 + 6 = 19$

$c = \sqrt{19}$

3. 最終的な答え

$c = \sqrt{19}$