$\left(\frac{1}{5}\right)^{10}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とする。

1. 問題の内容

$\left(\frac{1}{5}\right)^{10}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$x = \left(\frac{1}{5}\right)^{10}$ とおき、常用対数をとります。

$\log_{10}x = \log_{10}\left(\frac{1}{5}\right)^{10} = 10\log_{10}\left(\frac{1}{5}\right)$

$\log_{10}\left(\frac{1}{5}\right) = \log_{10}1 - \log_{10}5 = 0 - \log_{10}5 = -\log_{10}5$

$\log_{10}5 = \log_{10}\left(\frac{10}{2}\right) = \log_{10}10 - \log_{10}2 = 1 - \log_{10}2$

与えられた条件 $\log_{10}2 = 0.3010$ を用いると、

$\log_{10}5 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

したがって、

$\log_{10}x = 10(-\log_{10}5) = 10(-0.6990) = -6.990$

$x$ が小数第 $n$ 位に初めて0でない数字が現れるとき、

$-n \le \log_{10}x < -n+1$

となるので、$-n \le -6.990 < -n+1$ が成り立つような整数 $n$ を求めます。

$-n \le -6.990$ より $n \ge 6.990$

$-6.990 < -n+1$ より $n < 7.990$

$6.990 \le n < 7.990$ を満たす整数 $n$ は $n = 7$ です。

3. 最終的な答え

小数第7位