ある等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_{10} = 100$, $S_{20} = 400$ のとき, $S_n$ を求めよ。また, $S_{30}$ を求めよ。

## 問題9 (1) の解答

1. 問題の内容

ある等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_{10} = 100$, $S_{20} = 400$ のとき, $S_n$ を求めよ。また, $S_{30}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の和の公式は次の通りである。

$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$

ここで $a$ は初項、$d$ は公差である。

$S_{10} = 100$ より、

$100 = \frac{10}{2} (2a + 9d)$

$100 = 5(2a + 9d)$

$20 = 2a + 9d$ ...(1)

$S_{20} = 400$ より、

$400 = \frac{20}{2} (2a + 19d)$

$400 = 10(2a + 19d)$

$40 = 2a + 19d$ ...(2)

(2) - (1) より

$20 = 10d$

$d = 2$

(1)に代入して

$20 = 2a + 9 \cdot 2$

$20 = 2a + 18$

$2a = 2$

$a = 1$

したがって、$S_n = \frac{n}{2} (2 \cdot 1 + (n-1) \cdot 2) = \frac{n}{2} (2 + 2n - 2) = \frac{n}{2} (2n) = n^2$

$S_{30}$ は、

$S_{30} = 30^2 = 900$

3. 最終的な答え

$S_n = n^2$

$S_{30} = 900$