三角形ABCについて、以下の値を求める。 (1) $B = 30^\circ, C = 135^\circ, c = 2$のときの$b$ (2) $a = 1, b = \sqrt{3}, C = 150^\circ$のときの$c$ (3) $b = \sqrt{3}, c = 2, A = 120^\circ$のときの三角形ABCの面積$S$

はい、承知いたしました。問題文に沿って、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

三角形ABCについて、以下の値を求める。

(1) $B = 30^\circ, C = 135^\circ, c = 2$のときの$b$

(2) $a = 1, b = \sqrt{3}, C = 150^\circ$のときの$c$

(3) $b = \sqrt{3}, c = 2, A = 120^\circ$のときの三角形ABCの面積$S$

2. 解き方の手順

(1)

正弦定理を用いて、$b$の値を求めます。正弦定理は以下のように表されます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

今回は、$B$、$C$、$c$の値がわかっているので、$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$を用います。

まず、$A$の角度を求めます。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 30^\circ - 135^\circ = 15^\circ$

$\frac{b}{\sin 30^\circ} = \frac{2}{\sin 135^\circ}$

$b = \frac{2 \sin 30^\circ}{\sin 135^\circ} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

(2)

余弦定理を用いて、$c$の値を求めます。余弦定理は以下のように表されます。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

$a = 1, b = \sqrt{3}, C = 150^\circ$を代入すると、

$c^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cos 150^\circ = 1 + 3 - 2\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 4 + 3 = 7$

$c = \sqrt{7}$

(3)

三角形の面積の公式を用いて、$S$の値を求めます。

$S = \frac{1}{2} bc \sin A$

$b = \sqrt{3}, c = 2, A = 120^\circ$を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \sin 120^\circ = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $b = \sqrt{2}$

(2) $c = \sqrt{7}$

(3) $S = \frac{3}{2}$