与えられた等比数列に関する問題です。具体的には、一般項、xの値、等比数列の項数、一般項、aとbの値、和などを求める問題があります。

1. 問題の内容

与えられた等比数列に関する問題です。具体的には、一般項、xの値、等比数列の項数、一般項、aとbの値、和などを求める問題があります。

2. 解き方の手順

各問題について、以下のように解きます。

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4. 等比数列の一般項を求めます。一般項は$a_n = a_1 r^{n-1}$で表されます。

(1) 初項$a_1 = -2$, 第4項$a_4 = 128$。$a_4 = a_1 r^3$より、$128 = -2 r^3$。したがって、$r^3 = -64$、$r = -4$。一般項は$a_n = -2(-4)^{n-1}$。

(2) 第2項$a_2 = 6$, 第5項$a_5 = -48$。$a_5 = a_2 r^3$より、$-48 = 6 r^3$。したがって、$r^3 = -8$、$r = -2$。$a_2 = a_1 r$より、$6 = a_1(-2)$、$a_1 = -3$。一般項は$a_n = -3(-2)^{n-1}$。

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5. 等比数列におけるxの値を求めます。等比数列では、$a, b, c$の順で、$b^2 = ac$が成り立ちます。

(1) $x^2 = 4 \cdot 9 = 36$。したがって、$x = \pm 6$。

(2) $x^2 = (-10)(-5) = 50$。したがって、$x = \pm \sqrt{50} = \pm 5\sqrt{2}$。

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6. 初項2、公比3の等比数列において、初めて1000より大きくなるのは第何項かを求めます。

一般項は$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$。$2 \cdot 3^{n-1} > 1000$となる最小のnを求めます。

$3^{n-1} > 500$。$3^5 = 243$, $3^6 = 729$なので、$n-1 = 6$, $n = 7$。

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7. $a_1, a_2, a_3, a_4, \dots$は等比数列であり、$a_1 + a_2 = 4$, $a_3 + a_4 = 36$である。この等比数列の一般項$a_n$を求めよ。

$a_1(1+r) = 4$

$a_1 r^2(1+r) = 36$

両辺を割ると、$r^2 = 9$。よって、$r = \pm 3$。

$r=3$のとき、$a_1(1+3) = 4a_1 = 4$。$a_1 = 1$。一般項は$a_n = 3^{n-1}$

$r=-3$のとき、$a_1(1-3) = -2a_1 = 4$。$a_1 = -2$。一般項は$a_n = -2(-3)^{n-1}$

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8. 3つの数8, a, bがこの順に等差数列をなし, a, b, 36がこの順に等比数列をなすという。a、bの値を求めよ。

$2a = 8 + b$

$b^2 = 36a$

$b = 2a - 8$

$(2a - 8)^2 = 36a$

$4a^2 - 32a + 64 = 36a$

$4a^2 - 68a + 64 = 0$

$a^2 - 17a + 16 = 0$

$(a - 16)(a - 1) = 0$

$a = 16, 1$

$a = 16$のとき、$b = 2(16) - 8 = 24$

$a = 1$のとき、$b = 2(1) - 8 = -6$

よって、$(a, b) = (16, 24), (1, -6)$

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9. 次のような等比数列の和Sを求めよ。

(1) 初項3, 公比-2, 項数5

$S = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{3(1-(-2)^5)}{1-(-2)} = \frac{3(1-(-32))}{3} = 1+32 = 33$

(2) 初項5, 公比1, 項数8

$S = na = 8 \cdot 5 = 40$

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0. 次のような等比数列の和Sを求めよ。

(1) 初項1, 公比2, 末項64

$a_n = a_1 r^{n-1}$より、$64 = 1 \cdot 2^{n-1}$。したがって、$n-1 = 6$, $n = 7$。

$S = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{1(1-2^7)}{1-2} = \frac{1-128}{-1} = 127$

(2) 初項162, 公比-1/3, 末項2

$a_n = 162 (-\frac{1}{3})^{n-1} = 2$

$(-\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{2}{162} = \frac{1}{81} = (-\frac{1}{3})^4$

$n-1 = 4$。$n = 5$。

$S = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{162(1-(-\frac{1}{3})^5)}{1-(-\frac{1}{3})} = \frac{162(1+\frac{1}{243})}{\frac{4}{3}} = \frac{162 \cdot \frac{244}{243}}{\frac{4}{3}} = \frac{162}{1} \cdot \frac{244}{243} \cdot \frac{3}{4} = \frac{244}{243} \cdot 162 \cdot \frac{3}{4} = \frac{81}{1} \cdot \frac{244}{81} \cdot \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{244}{1} \cdot \frac{1}{2} = 122$

$162 \frac{1-(-\frac{1}{3})^5}{1+\frac{1}{3}}=162 \cdot \frac{\frac{244}{243}}{\frac{4}{3}}=\frac{162\cdot 244 \cdot 3}{243 \cdot 4} = \frac{162 \cdot 61 \cdot 3}{243}=\frac{2 \cdot 61 \cdot 3}{3} = 122$

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1. 次のような等比数列の初項から第n項までの和$S_n$を求めよ。

(1) 初項2, 公比3

$S_n = \frac{2(3^n - 1)}{3 - 1} = 3^n - 1$

(2) 初項21, 公比-2

$S_n = \frac{21(1 - (-2)^n)}{1 - (-2)} = \frac{21(1 - (-2)^n)}{3} = 7(1 - (-2)^n)$

(3) $3, 3^2, 3^3, 3^4, \dots$

初項3、公比3

$S_n = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}$

(4) $1, \frac{1}{3}, \frac{1}{3^2}, \frac{1}{3^3}, \dots$

初項1、公比$1/3$

$S_n = \frac{1(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n) = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$

(5) $7, -7, 7, -7, \dots$

初項7、公比-1

$S_n = \frac{7(1 - (-1)^n)}{1 - (-1)} = \frac{7(1 - (-1)^n)}{2}$

(6) $4, 2, 1, \frac{1}{2}, \dots$

初項4、公比$1/2$

$S_n = \frac{4(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{4(1 - (\frac{1}{2})^n)}{\frac{1}{2}} = 8(1 - (\frac{1}{2})^n) = 8(1 - \frac{1}{2^n})$

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2. 次の式を、和の記号$\Sigma$を用いて書け。

(1) $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \sum_{k=1}^n k^3$

(2) $1 + 3 + 9 + \dots + 3^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} 3^k$

(3) $3 + 6 + 9 + 12 + 15 = \sum_{k=1}^5 3k$

(4) $1 + 2 + 4 + 8 + \dots$ (第n項まで) $= \sum_{k=0}^{n-1} 2^k$

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3. 次の和を求めよ。

(1) $\sum_{k=1}^n 3 \cdot 4^{k-1} = 3 \sum_{k=1}^n 4^{k-1} = 3 \sum_{k=0}^{n-1} 4^{k} = 3 \cdot \frac{1(4^n - 1)}{4 - 1} = 4^n - 1$

(2) $\sum_{k=1}^n 7^k = \frac{7(7^n - 1)}{7 - 1} = \frac{7(7^n - 1)}{6}$

(3) $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3^k} = \sum_{k=1}^{n-1} (\frac{1}{3})^k = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^{n-1})}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^{n-1})}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} (1 - (\frac{1}{3})^{n-1}) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3^{n-1}})$

3. 最終的な答え

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4. (1) $a_n = -2(-4)^{n-1}$ (2) $a_n = -3(-2)^{n-1}$

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5. (1) $x = \pm 6$ (2) $x = \pm 5\sqrt{2}$

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6. 7

1

7. $a_n = 3^{n-1}$ または $a_n = -2(-3)^{n-1}$

1

8. $(a, b) = (16, 24), (1, -6)$

1

9. (1) 33 (2) 40

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0. (1) 127 (2) 122

2

1. (1) $3^n - 1$ (2) $7(1 - (-2)^n)$ (3) $\frac{3(3^n - 1)}{2}$ (4) $\frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$ (5) $\frac{7(1 - (-1)^n)}{2}$ (6) $8(1 - \frac{1}{2^n})$

2

2. (1) $\sum_{k=1}^n k^3$ (2) $\sum_{k=0}^{n-1} 3^k$ (3) $\sum_{k=1}^5 3k$ (4) $\sum_{k=0}^{n-1} 2^k$

2

3. (1) $4^n - 1$ (2) $\frac{7(7^n - 1)}{6}$ (3) $\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3^{n-1}})$