$\sum_{k=1}^{n} (5k + 4)$ を計算します。

はい、承知いたしました。画像にあるいくつかの問題を解いていきます。

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2

6. (1)**

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (5k + 4)$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n} (5k + 4) = \sum_{k=1}^{n} 5k + \sum_{k=1}^{n} 4$

$= 5 \sum_{k=1}^{n} k + 4 \sum_{k=1}^{n} 1$

$= 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 4n$

$= \frac{5n(n+1)}{2} + \frac{8n}{2}$

$= \frac{5n^2 + 5n + 8n}{2}$

$= \frac{5n^2 + 13n}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5n^2 + 13n}{2}$

**

2

6. (2)**

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 4k)$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 4k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{12n(n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 12n(n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1-12)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n-11)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(2n-11)}{6}$

**

2

6. (3)**

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (4k^3 - 1)$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n} (4k^3 - 1) = \sum_{k=1}^{n} 4k^3 - \sum_{k=1}^{n} 1$

$= 4 \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} 1$

$= 4 \cdot \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 - n$

$= 4 \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} - n$

$= n^2(n+1)^2 - n$

$= n^2(n^2 + 2n + 1) - n$

$= n^4 + 2n^3 + n^2 - n$

3. 最終的な答え

$n^4 + 2n^3 + n^2 - n$

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2

6. (4)**

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k+3)$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k+3) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 4k + 3)$

$= \sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 3n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{12n(n+1)}{6} + \frac{18n}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) + 12n(n+1) + 18n}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1+12) + 18n}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n+13) + 18n}{6}$

$= \frac{n[(n+1)(2n+13) + 18]}{6}$

$= \frac{n[2n^2 + 15n + 13 + 18]}{6}$

$= \frac{n(2n^2 + 15n + 31)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(2n^2 + 15n + 31)}{6}$

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2

6. (5)**

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n-1} (k^3 - k^2)$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n-1} (k^3 - k^2) = \sum_{k=1}^{n-1} k^3 - \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

$= \left( \frac{(n-1)n}{2} \right)^2 - \frac{(n-1)n(2(n-1)+1)}{6}$

$= \frac{(n-1)^2n^2}{4} - \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$= \frac{3(n-1)^2n^2 - 2(n-1)n(2n-1)}{12}$

$= \frac{(n-1)n[3(n-1)n - 2(2n-1)]}{12}$

$= \frac{(n-1)n[3n^2-3n - 4n + 2]}{12}$

$= \frac{(n-1)n(3n^2 - 7n + 2)}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{(n-1)n(3n^2 - 7n + 2)}{12}$