$\sum_{k=1}^{n} (2k - 7)$ を求めます。

##

2

5. (1) の問題

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (2k - 7)$ を求めます。

2. 解き方の手順

シグマの性質を用いて、定数倍と和・差に分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k - 7) = 2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 7$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ および $\sum_{k=1}^{n} c = nc$ (cは定数) を用いて計算します。

$2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 7 = 2\cdot\frac{n(n+1)}{2} - 7n = n(n+1) - 7n = n^2 + n - 7n = n^2 - 6n$

3. 最終的な答え

$n^2 - 6n$

##

2

5. (2) の問題

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^{k-1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

これは初項 $a = 2$、公比 $r = 3$ の等比数列の和です。等比数列の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = a\frac{1-r^n}{1-r}$ を使います。

$\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^{k-1} = 2\frac{1-3^n}{1-3} = 2\frac{1-3^n}{-2} = -(1-3^n) = 3^n - 1$

3. 最終的な答え

$3^n - 1$

##

2

5. (3) の問題

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{10} (2k + 1)$ を求めます。

2. 解き方の手順

シグマの性質を用いて、定数倍と和に分解します。

$\sum_{k=1}^{10} (2k + 1) = 2\sum_{k=1}^{10} k + \sum_{k=1}^{10} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ および $\sum_{k=1}^{n} c = nc$ (cは定数) を用いて計算します。

$2\sum_{k=1}^{10} k + \sum_{k=1}^{10} 1 = 2\cdot\frac{10(10+1)}{2} + 10\cdot1 = 10(11) + 10 = 110 + 10 = 120$

3. 最終的な答え

120

##

2

5. (4) の問題

1. 問題の内容

$\sum_{k=4}^{9} k^2$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を使います。

$\sum_{k=4}^{9} k^2 = \sum_{k=1}^{9} k^2 - \sum_{k=1}^{3} k^2$

$\sum_{k=1}^{9} k^2 = \frac{9(9+1)(2\cdot9+1)}{6} = \frac{9\cdot10\cdot19}{6} = \frac{1710}{6} = 285$

$\sum_{k=1}^{3} k^2 = \frac{3(3+1)(2\cdot3+1)}{6} = \frac{3\cdot4\cdot7}{6} = \frac{84}{6} = 14$

したがって、$\sum_{k=4}^{9} k^2 = 285 - 14 = 271$

3. 最終的な答え

271

##

2

6. (1) の問題

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (5k + 4)$ を求めます。

2. 解き方の手順

シグマの性質を用いて、定数倍と和に分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (5k + 4) = 5\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 4$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ および $\sum_{k=1}^{n} c = nc$ (cは定数) を用いて計算します。

$5\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 4 = 5\cdot\frac{n(n+1)}{2} + 4n = \frac{5n^2 + 5n}{2} + \frac{8n}{2} = \frac{5n^2 + 13n}{2} = \frac{n(5n+13)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(5n+13)}{2}$

##

2

6. (2) の問題

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - 4k)$ を求めます。

2. 解き方の手順

シグマの性質を用いて、定数倍と和・差に分解します。

$\sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - 4k) = \sum_{k=1}^{n-1} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ および $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用います。

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)(n-1+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} - 4\cdot\frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} - \frac{12n(n-1)}{6} = \frac{n(n-1)(2n-1-12)}{6} = \frac{n(n-1)(2n-13)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(2n-13)}{6}$

##

2

6. (3) の問題

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (4k^3 - 1)$ を求めます。

2. 解き方の手順

シグマの性質を用いて、定数倍と和・差に分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (4k^3 - 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ および $\sum_{k=1}^{n} c = nc$ (cは定数) を用いて計算します。

$4\sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} 1 = 4\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 - n = 4\cdot\frac{n^2(n+1)^2}{4} - n = n^2(n+1)^2 - n = n^2(n^2+2n+1) - n = n^4 + 2n^3 + n^2 - n = n(n^3 + 2n^2 + n - 1)$

3. 最終的な答え

$n(n^3 + 2n^2 + n - 1)$

##

2

6. (4) の問題

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k+3)$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$(k+1)(k+3)$ を展開します。

$(k+1)(k+3) = k^2 + 4k + 3$

$\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k+3) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 4k + 3) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ および $\sum_{k=1}^{n} c = nc$ (cは定数) を用いて計算します。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4\frac{n(n+1)}{2} + 3n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{12n(n+1)}{6} + \frac{18n}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1) + 12n(n+1) + 18n}{6}$

$= \frac{n((n+1)(2n+1) + 12(n+1) + 18)}{6} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1 + 12n + 12 + 18)}{6} = \frac{n(2n^2 + 15n + 31)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(2n^2 + 15n + 31)}{6}$

##

2

6. (5) の問題

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n-1} (k^3 - k^2)$ を求めます。

2. 解き方の手順

シグマの性質を用いて、差に分解します。

$\sum_{k=1}^{n-1} (k^3 - k^2) = \sum_{k=1}^{n-1} k^3 - \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ および $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用います。

$\sum_{k=1}^{n-1} k^3 = \left(\frac{(n-1)(n-1+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{(n-1)n}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n-1)^2}{4}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^3 - \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{n^2(n-1)^2}{4} - \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} = \frac{3n^2(n-1)^2}{12} - \frac{2n(n-1)(2n-1)}{12} = \frac{n(n-1)[3n(n-1) - 2(2n-1)]}{12}$

$= \frac{n(n-1)(3n^2 - 3n - 4n + 2)}{12} = \frac{n(n-1)(3n^2 - 7n + 2)}{12} = \frac{n(n-1)(3n-1)(n-2)}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(3n-1)(n-2)}{12}$

##

2

7. (1) の問題

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - k)$ を求めます。

2. 解き方の手順

シグマの性質を用いて、定数倍と和・差に分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - k) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ および $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用いて計算します。

$3\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k = 3\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1 - 1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n)}{2} = n^2(n+1)$

3. 最終的な答え

$n^2(n+1)$

##

2

7. (2) の問題

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)(4k^2-2k+1)$ を求めます。

2. 解き方の手順

$(2k+1)(4k^2-2k+1) = (2k)^3 + 1^3 = 8k^3 + 1$ であることを利用します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)(4k^2-2k+1) = \sum_{k=1}^{n} (8k^3+1) = 8\sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ および $\sum_{k=1}^{n} c = nc$ (cは定数) を用いて計算します。

$8\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + n = 8\cdot\frac{n^2(n+1)^2}{4} + n = 2n^2(n+1)^2 + n = 2n^2(n^2+2n+1) + n = 2n^4 + 4n^3 + 2n^2 + n = n(2n^3 + 4n^2 + 2n + 1)$

3. 最終的な答え

$n(2n^3 + 4n^2 + 2n + 1)$

##

2

7. (3) の問題

1. 問題の内容

$\sum_{k=11}^{20} (6k - 1)$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=11}^{20} (6k - 1) = \sum_{k=1}^{20} (6k - 1) - \sum_{k=1}^{10} (6k - 1)$

シグマの性質を用いて、定数倍と和・差に分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (6k - 1) = 6\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ および $\sum_{k=1}^{n} c = nc$ (cは定数) を用いて計算します。

$6\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 6\frac{n(n+1)}{2} - n = 3n(n+1) - n = 3n^2 + 3n - n = 3n^2 + 2n$

したがって、

$\sum_{k=1}^{20} (6k - 1) = 3\cdot20^2 + 2\cdot20 = 3\cdot400 + 40 = 1200 + 40 = 1240$

$\sum_{k=1}^{10} (6k - 1) = 3\cdot10^2 + 2\cdot10 = 3\cdot100 + 20 = 300 + 20 = 320$

$\sum_{k=11}^{20} (6k - 1) = 1240 - 320 = 920$

3. 最終的な答え

920

##

2

7. (4) の問題

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n+1} 5^k$ を求めます。

2. 解き方の手順

これは初項 $a = 5$、公比 $r = 5$ の等比数列の和です。等比数列の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = a\frac{1-r^n}{1-r}$ を使います。

$\sum_{k=1}^{n+1} 5^k = \sum_{k=1}^{n+1} 5 \cdot 5^{k-1} = 5 \cdot \frac{1 - 5^{n+1}}{1 - 5} = 5 \cdot \frac{1 - 5^{n+1}}{-4} = \frac{5(5^{n+1} - 1)}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{5(5^{n+1} - 1)}{4}$

##

2

8. (1) の問題

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (2k+3)$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n} (2k+3) = 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ および $\sum_{k=1}^{n} c = nc$ (cは定数) を用いて計算します。

$2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3 = 2\frac{n(n+1)}{2} + 3n = n(n+1) + 3n = n^2 + n + 3n = n^2 + 4n = n(n+4)$

3. 最終的な答え

$n(n+4)$

##

2

8. (2) の問題

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ および $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用いて計算します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1 + 3)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{2n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

##

2

8. (3) の問題

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - 6k + 5)$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - 6k + 5) = \sum_{k=1}^{n-1} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 5$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ および $\sum_{k=1}^{n} c = nc$ (cは定数) を用いて計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)(n)(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} 5 = 5(n-1)$

$\frac{n(n-1)(2n-1)}{6} - 6\frac{(n-1)n}{2} + 5(n-1) = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} - \frac{18n(n-1)}{6} + \frac{30(n-1)}{6} = \frac{(n-1)(n(2n-1) - 18n + 30)}{6} = \frac{(n-1)(2n^2 - n - 18n + 30)}{6} = \frac{(n-1)(2n^2 - 19n + 30)}{6} = \frac{(n-1)(2n-15)(n-2)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{(n-1)(2n-15)(n-2)}{6}$

##

2

8. (6) の問題

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - 5k)$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - 5k) = \sum_{k=1}^{n-1} k^2 - 5\sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ および $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用います。

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)(n)(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 - 5\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} - 5\frac{(n-1)n}{2} = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} - \frac{15(n-1)n}{6} = \frac{n(n-1)(2n-1 - 15)}{6} = \frac{n(n-1)(2n-16)}{6} = \frac{2n(n-1)(n-8)}{6} = \frac{n(n-1)(n-8)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(n-8)}{3}$