以下の3つの問題を解きます。 (i) $a = (2+\sqrt{5})^2$, $b = (2-\sqrt{5})^2$ のとき、$a+b$ の値を求めます。 (ii) $x^2y + xy^2 - 5xy + 2x + 2y - 10$ を因数分解します。 (iii) $a^2b + ab^2 - 5ab + 2a + 2b - 10$ の値を求めます。ただし、$a = (2+\sqrt{5})^2$, $b = (2-\sqrt{5})^2$です。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の3つの問題を解きます。

(i) $a = (2+\sqrt{5})^2$, $b = (2-\sqrt{5})^2$ のとき、$a+b$ の値を求めます。

(ii) $x^2y + xy^2 - 5xy + 2x + 2y - 10$ を因数分解します。

(iii) $a^2b + ab^2 - 5ab + 2a + 2b - 10$ の値を求めます。ただし、$a = (2+\sqrt{5})^2$, $b = (2-\sqrt{5})^2$です。

2. 解き方の手順

(i) $a+b$ の値を求めます。

まず、$a$ と $b$ を展開します。

$a = (2+\sqrt{5})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}$

$b = (2-\sqrt{5})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = 9 - 4\sqrt{5}$

したがって、$a+b = (9 + 4\sqrt{5}) + (9 - 4\sqrt{5}) = 9 + 9 = 18$

(ii) $x^2y + xy^2 - 5xy + 2x + 2y - 10$ を因数分解します。

まず、$xy$ でくくれる部分をくくります。

$x^2y + xy^2 - 5xy = xy(x + y - 5)$

次に、残りの部分を整理します。

$2x + 2y - 10 = 2(x + y - 5)$

したがって、与式は

$xy(x + y - 5) + 2(x + y - 5) = (xy + 2)(x + y - 5)$

(iii) $a^2b + ab^2 - 5ab + 2a + 2b - 10$ の値を求めます。

まず、$a = (2+\sqrt{5})^2 = 9 + 4\sqrt{5}$、 $b = (2-\sqrt{5})^2 = 9 - 4\sqrt{5}$ であることを利用して、$ab$ を計算します。

$ab = (9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5}) = 9^2 - (4\sqrt{5})^2 = 81 - 16 \cdot 5 = 81 - 80 = 1$

次に、与式を因数分解します。(ii) の結果を利用すると、

$a^2b + ab^2 - 5ab + 2a + 2b - 10 = ab(a+b-5) + 2(a+b-5) = (ab+2)(a+b-5)$

$a+b = 18$、$ab = 1$ を代入すると、

$(1+2)(18-5) = 3 \cdot 13 = 39$

3. 最終的な答え

(i) $a+b = 18$

(ii) $x^2y + xy^2 - 5xy + 2x + 2y - 10 = (xy + 2)(x + y - 5)$

(iii) $a^2b + ab^2 - 5ab + 2a + 2b - 10 = 39$