図において、$\angle CAD = 60^\circ$, $\angle DAB = 15^\circ$, $\angle DBA = 30^\circ$, $AB = 80m$であるとき、ビルの高さ$CD$を求める問題です。

1. 問題の内容

図において、$\angle CAD = 60^\circ$, $\angle DAB = 15^\circ$, $\angle DBA = 30^\circ$, $AB = 80m$であるとき、ビルの高さ$CD$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABD$に着目し、$AD$を求めます。

$\angle ADB = 180^\circ - (15^\circ + 30^\circ) = 135^\circ$です。

正弦定理より、

$\frac{AD}{\sin 30^\circ} = \frac{AB}{\sin 135^\circ}$

$AB = 80m$であり、$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$、$\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$であるから、

$AD = \frac{AB \cdot \sin 30^\circ}{\sin 135^\circ} = \frac{80 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{40}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 40 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{80}{\sqrt{2}} = \frac{80\sqrt{2}}{2} = 40\sqrt{2}$

よって、$AD = 40\sqrt{2}$です。

次に、$\triangle ADC$に着目します。

$\angle CAD = 60^\circ$であり、$\angle ADC = 90^\circ$なので、$CD = AD \tan 60^\circ$となります。

$CD = AD \cdot \sqrt{3} = 40\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 40\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$CD = 40\sqrt{6} m$