$n$ を0以上の整数とするとき、次の等式を証明する問題です。 (1) $\int_{1}^{e} x^n \log_e x dx = \frac{ne^{n+1}+1}{(n+1)^2}$ (2) $\int_{0}^{n\pi} e^x \sin x dx = \frac{1+(-1)^{n+1}e^{n\pi}}{2}$

1. 問題の内容

$n$ を0以上の整数とするとき、次の等式を証明する問題です。

(1) $\int_{1}^{e} x^n \log_e x dx = \frac{ne^{n+1}+1}{(n+1)^2}$

(2) $\int_{0}^{n\pi} e^x \sin x dx = \frac{1+(-1)^{n+1}e^{n\pi}}{2}$

2. 解き方の手順

(1)

部分積分を用いて計算します。

$u = \log_e x$, $dv = x^n dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ となります。

したがって、

$\int_{1}^{e} x^n \log_e x dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \log_e x \right]_1^e - \int_{1}^{e} \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{x} dx$

$= \frac{e^{n+1}}{n+1} \log_e e - \frac{1^{n+1}}{n+1} \log_e 1 - \frac{1}{n+1} \int_{1}^{e} x^n dx$

$= \frac{e^{n+1}}{n+1} - 0 - \frac{1}{n+1} \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_1^e$

$= \frac{e^{n+1}}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2} (e^{n+1} - 1)$

$= \frac{(n+1)e^{n+1} - e^{n+1} + 1}{(n+1)^2}$

$= \frac{ne^{n+1} + 1}{(n+1)^2}$

(2)

$I = \int_{0}^{n\pi} e^x \sin x dx$ とおきます。

部分積分を2回行います。

$u = \sin x$, $dv = e^x dx$ とおくと、$du = \cos x dx$, $v = e^x$ となります。

$I = \left[ e^x \sin x \right]_0^{n\pi} - \int_{0}^{n\pi} e^x \cos x dx$

$= e^{n\pi} \sin(n\pi) - e^0 \sin 0 - \int_{0}^{n\pi} e^x \cos x dx$

$= 0 - \int_{0}^{n\pi} e^x \cos x dx$

次に、$\int_{0}^{n\pi} e^x \cos x dx$ を部分積分で計算します。

$u = \cos x$, $dv = e^x dx$ とおくと、$du = -\sin x dx$, $v = e^x$ となります。

$\int_{0}^{n\pi} e^x \cos x dx = \left[ e^x \cos x \right]_0^{n\pi} - \int_{0}^{n\pi} e^x (-\sin x) dx$

$= e^{n\pi} \cos(n\pi) - e^0 \cos 0 + \int_{0}^{n\pi} e^x \sin x dx$

$= e^{n\pi} (-1)^n - 1 + I$

したがって、

$I = - (e^{n\pi} (-1)^n - 1 + I)$

$I = - e^{n\pi} (-1)^n + 1 - I$

$2I = 1 - e^{n\pi} (-1)^n$

$I = \frac{1 - e^{n\pi} (-1)^n}{2} = \frac{1 + (-1)^{n+1} e^{n\pi}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{1}^{e} x^n \log_e x dx = \frac{ne^{n+1}+1}{(n+1)^2}$

(2) $\int_{0}^{n\pi} e^x \sin x dx = \frac{1+(-1)^{n+1}e^{n\pi}}{2}$