与えられた二つの式 $I = e^{in\pi}(-1)^n - 1 + I$ と $I = -(e^{in\pi}(-1)^n - 1 + I)$ が同じIの値となるかどうかを問う問題です。

1. 問題の内容

与えられた二つの式

$I = e^{in\pi}(-1)^n - 1 + I$

と

$I = -(e^{in\pi}(-1)^n - 1 + I)$

が同じIの値となるかどうかを問う問題です。

2. 解き方の手順

まず、一つ目の式からIを求めます。

$I = e^{in\pi}(-1)^n - 1 + I$

両辺からIを引くと

$0 = e^{in\pi}(-1)^n - 1$

$1 = e^{in\pi}(-1)^n$

ここで、$e^{in\pi}$ はオイラーの公式により $cos(n\pi) + i sin(n\pi)$ となります。$sin(n\pi) = 0$ であるため、$e^{in\pi} = cos(n\pi) = (-1)^n$となります。したがって、

$1 = (-1)^n (-1)^n$

$1 = ((-1)^n)^2$

$1 = 1$

これは常に成り立つので、この式からはIの値は定まりません。

次に、二つ目の式からIを求めます。

$I = -(e^{in\pi}(-1)^n - 1 + I)$

$I = -e^{in\pi}(-1)^n + 1 - I$

$2I = -e^{in\pi}(-1)^n + 1$

$2I = -(-1)^n(-1)^n + 1$

$2I = -((-1)^n)^2 + 1$

$2I = -1 + 1$

$2I = 0$

$I = 0$

ここで、求めたI = 0 を一つ目の式に代入してみます。

$0 = e^{in\pi}(-1)^n - 1 + 0$

$1 = e^{in\pi}(-1)^n$

$1 = (-1)^n(-1)^n$

$1 = ((-1)^n)^2$

$1 = 1$

これは常に成立します。

3. 最終的な答え

二つ目の式から I = 0 が導かれ、I = 0 は一つ目の式も満たします。したがって、与えられた二つの式はI = 0 の場合に成り立ちます。しかし、一つ目の式だけではIの値は定まらないことに注意する必要があります。二つの式が同時に成立する場合、$I = 0$となります。