直方体OADB-CEGFにおいて、辺DGの延長上にDG=GHとなる点Hを取る。直線OHと平面ABCの交点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とするとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

1. 問題の内容

直方体OADB-CEGFにおいて、辺DGの延長上にDG=GHとなる点Hを取る。直線OHと平面ABCの交点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とするとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) Pは直線OH上にあるので、実数$k$を用いて $\vec{OP} = k\vec{OH}$と表せる。

$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{AD} + \vec{DH} = \vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}$ なので、

$\vec{OP} = k(\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}) = k\vec{a} + k\vec{b} + 2k\vec{c}$ ... (1)

(2) Pは平面ABC上にあるので、実数$s, t$を用いて $\vec{CP} = s\vec{CA} + t\vec{CB}$と表せる。

$\vec{OP} = \vec{OC} + \vec{CP} = \vec{c} + s(\vec{a} - \vec{c}) + t(\vec{b} - \vec{c}) = s\vec{a} + t\vec{b} + (1 - s - t)\vec{c}$ ... (2)

(3) 4点O, A, B, Cは同一平面上にないので、$\vec{OP}$の$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いた表し方は一意的である。(1), (2)より、

$k = s$, $k = t$, $2k = 1 - s - t$

$s = k, t = k$を$2k = 1 - s - t$に代入して、

$2k = 1 - k - k$

$4k = 1$

$k = \frac{1}{4}$

したがって、$s = \frac{1}{4}, t = \frac{1}{4}$

(4) $k = \frac{1}{4}$を$\vec{OP} = k(\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c})$に代入して、

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$