$\triangle ABC$ において、$b=2$, $c=1+\sqrt{3}$, $A=60^\circ$ のとき、$a$, $B$, $C$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$b=2$, $c=1+\sqrt{3}$, $A=60^\circ$ のとき、$a$, $B$, $C$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて $a$ の値を求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$a^2 = 2^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2(2)(1+\sqrt{3})\cos 60^\circ$

$a^2 = 4 + 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 4(1+\sqrt{3})\cdot\frac{1}{2}$

$a^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2(1+\sqrt{3})$

$a^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}$

$a^2 = 6$

$a = \sqrt{6}$

次に、正弦定理を用いて $\sin B$ を求めます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ より、

$\sin B = \frac{b \sin A}{a}$

$\sin B = \frac{2 \sin 60^\circ}{\sqrt{6}}$

$\sin B = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}$

$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$

$\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$B = 45^\circ$ または $135^\circ$

$A = 60^\circ$ なので、$B = 135^\circ$ は不適。よって、$B = 45^\circ$。

最後に、$C$ を求めます。

$C = 180^\circ - A - B$

$C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ$

$C = 75^\circ$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{6}$

$B = 45^\circ$

$C = 75^\circ$