三角形ABCにおいて、$a=2$, $b = \sqrt{2} + \sqrt{6}$, $C=45^\circ$であるとき、$c$, $A$, $B$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=2$, $b = \sqrt{2} + \sqrt{6}$, $C=45^\circ$であるとき、$c$, $A$, $B$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて$c$の値を求める。

余弦定理は、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$である。

与えられた値を代入すると、

$c^2 = 2^2 + (\sqrt{2} + \sqrt{6})^2 - 2(2)(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cos 45^\circ$

$c^2 = 4 + (2 + 2\sqrt{12} + 6) - 4(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = 4 + 8 + 4\sqrt{3} - 2(2 + 2\sqrt{3})$

$c^2 = 12 + 4\sqrt{3} - 4 - 4\sqrt{3}$

$c^2 = 8$

$c = 2\sqrt{2}$

次に、正弦定理を用いて$A$を求める。

正弦定理は、$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$である。

$\frac{2}{\sin A} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}$

$\sin A = \frac{2 \sin 45^\circ}{2\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

$A = 30^\circ$または$150^\circ$

しかし、$A + B + C = 180^\circ$であり、$C = 45^\circ$、$A < 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$である。

また、$b > a$より$B > A$であり、$A+B < 135^\circ$なので、$A < 67.5^\circ$である。

よって、$A = 30^\circ$

最後に、$B$を求める。

$A + B + C = 180^\circ$

$30^\circ + B + 45^\circ = 180^\circ$

$B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$

3. 最終的な答え

$c = 2\sqrt{2}$

$A = 30^\circ$

$B = 105^\circ$