(1) 等差数列 $\{a_n\}$ において、第4項が30、初項から第8項までの和が288である。このとき、初項、公差、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。 (2) 等比数列 $\{b_n\}$ において、第2項が36、初項から第3項までの和が156である。ただし公比は1より大きい。このとき、初項、公比、初項から第 $n$ 項までの和 $T_n$ を求めよ。 (3) 異なる3つの実数 $a, b, c$ がこの順で等差数列をなし、$b, c, a$ の順で等比数列をなす。また、$a + b + c = 18$ であるとき、$a, b, c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ において、第4項が30、初項から第8項までの和が288である。このとき、初項、公差、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

(2) 等比数列 $\{b_n\}$ において、第2項が36、初項から第3項までの和が156である。ただし公比は1より大きい。このとき、初項、公比、初項から第 $n$ 項までの和 $T_n$ を求めよ。

(3) 異なる3つの実数 $a, b, c$ がこの順で等差数列をなし、$b, c, a$ の順で等比数列をなす。また、$a + b + c = 18$ であるとき、$a, b, c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

初項を $a$, 公差を $d$ とすると、

第4項は $a + 3d = 30$。

初項から第8項までの和は $S_8 = \frac{8}{2}(2a + (8-1)d) = 4(2a + 7d) = 288$。

よって $2a + 7d = 72$。

連立方程式を解く：

$a + 3d = 30$ より $2a + 6d = 60$。

$2a + 7d = 72$

辺々引くと、$-d = -12$ より $d = 12$。

$a + 3(12) = 30$ より $a = 30 - 36 = -6$。

したがって、初項は $-6$、公差は $12$。

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) = \frac{n}{2}(2(-6) + (n-1)12) = \frac{n}{2}(-12 + 12n - 12) = \frac{n}{2}(12n - 24) = 6n^2 - 12n$。

(2)

初項を $b$, 公比を $r$ とすると、

第2項は $br = 36$。

初項から第3項までの和は $b + br + br^2 = 156$。

$b(1 + r + r^2) = 156$

$b = \frac{36}{r}$ を代入すると、

$\frac{36}{r}(1 + r + r^2) = 156$

$36(1 + r + r^2) = 156r$

$36 + 36r + 36r^2 = 156r$

$36r^2 - 120r + 36 = 0$

$3r^2 - 10r + 3 = 0$

$(3r - 1)(r - 3) = 0$

$r = \frac{1}{3}, 3$

公比は1より大きいので $r = 3$。

$b = \frac{36}{3} = 12$。

したがって、初項は $12$、公比は $3$。

初項から第 $n$ 項までの和 $T_n$ は

$T_n = \frac{b(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{12(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{12(3^n - 1)}{2} = 6(3^n - 1)$。

(3)

$a, b, c$ がこの順で等差数列なので、$2b = a + c$。

$b, c, a$ がこの順で等比数列なので、$c^2 = ab$。

また、$a + b + c = 18$。

$a + c = 18 - b$ より $2b = 18 - b$。よって $3b = 18$ より $b = 6$。

$a + c = 18 - 6 = 12$ より $c = 12 - a$。

$c^2 = ab$ より $(12 - a)^2 = 6a$。

$144 - 24a + a^2 = 6a$

$a^2 - 30a + 144 = 0$

$(a - 6)(a - 24) = 0$

$a = 6, 24$。

$a, b, c$ は異なる実数なので、$a \neq b = 6$ より $a = 24$。

$c = 12 - a = 12 - 24 = -12$。

したがって、$a = 24$, $b = 6$, $c = -12$。

3. 最終的な答え

(1)

初項: -6

公差: 12

$S_n = 6n^2 - 12n$

(2)

初項: 12

公比: 3

$T_n = 6(3^n - 1)$

(3)

$a = 24$

$b = 6$

$c = -12$