問題(2)と(4)をそれぞれ計算する。 問題(2): $\frac{3-i}{1-i} + \frac{3+i}{1+i}$ 問題(4): $\frac{1+3\sqrt{3}i}{\sqrt{3}+i} + \frac{3\sqrt{3}+i}{1+\sqrt{3}i}$

1. 問題の内容

問題(2)と(4)をそれぞれ計算する。

問題(2): $\frac{3-i}{1-i} + \frac{3+i}{1+i}$

問題(4): $\frac{1+3\sqrt{3}i}{\sqrt{3}+i} + \frac{3\sqrt{3}+i}{1+\sqrt{3}i}$

2. 解き方の手順

問題(2)

各項の分母を実数化する。

$\frac{3-i}{1-i} = \frac{(3-i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{3+3i-i-i^2}{1-i^2} = \frac{3+2i+1}{1+1} = \frac{4+2i}{2} = 2+i$

$\frac{3+i}{1+i} = \frac{(3+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{3-3i+i-i^2}{1-i^2} = \frac{3-2i+1}{1+1} = \frac{4-2i}{2} = 2-i$

よって、$\frac{3-i}{1-i} + \frac{3+i}{1+i} = (2+i) + (2-i) = 4$

問題(4)

各項の分母を実数化する。

$\frac{1+3\sqrt{3}i}{\sqrt{3}+i} = \frac{(1+3\sqrt{3}i)(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)} = \frac{\sqrt{3}-i+9i+3\sqrt{3}}{3+1} = \frac{4\sqrt{3}+8i}{4} = \sqrt{3}+2i$

$\frac{3\sqrt{3}+i}{1+\sqrt{3}i} = \frac{(3\sqrt{3}+i)(1-\sqrt{3}i)}{(1+\sqrt{3}i)(1-\sqrt{3}i)} = \frac{3\sqrt{3}-9i+i+\sqrt{3}}{1+3} = \frac{4\sqrt{3}-8i}{4} = \sqrt{3}-2i$

よって、$\frac{1+3\sqrt{3}i}{\sqrt{3}+i} + \frac{3\sqrt{3}+i}{1+\sqrt{3}i} = (\sqrt{3}+2i) + (\sqrt{3}-2i) = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

問題(2)の答え: 4

問題(4)の答え: $2\sqrt{3}$