与えられた複素数の式 $(\frac{4+3i}{1+2i})^2$ を計算し、結果を $a+bi$ の形で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた複素数の式 $(\frac{4+3i}{1+2i})^2$ を計算し、結果を $a+bi$ の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{4+3i}{1+2i}$ を計算します。分母の複素共役 $1-2i$ を分子と分母にかけます。

$\frac{4+3i}{1+2i} = \frac{(4+3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$

分子を計算します。

$(4+3i)(1-2i) = 4 - 8i + 3i - 6i^2 = 4 - 5i + 6 = 10 - 5i$

分母を計算します。

$(1+2i)(1-2i) = 1 - 4i^2 = 1 + 4 = 5$

よって、

$\frac{4+3i}{1+2i} = \frac{10-5i}{5} = 2-i$

次に、$(2-i)^2$ を計算します。

$(2-i)^2 = (2-i)(2-i) = 4 - 4i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i$

3. 最終的な答え

$3-4i$