三角形ABCにおいて、$a=2$, $b = \sqrt{2} + \sqrt{6}$, $C = 45^\circ$のとき、$c$, $A$, $B$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=2$, $b = \sqrt{2} + \sqrt{6}$, $C = 45^\circ$のとき、$c$, $A$, $B$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺$c$の長さを求めます。

余弦定理は、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$

です。

与えられた値を代入すると、

$c^2 = 2^2 + (\sqrt{2}+\sqrt{6})^2 - 2(2)(\sqrt{2}+\sqrt{6})\cos{45^\circ}$

$c^2 = 4 + (2 + 2\sqrt{12} + 6) - 4(\sqrt{2}+\sqrt{6})\frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = 4 + 8 + 4\sqrt{3} - 2(2+2\sqrt{3})$

$c^2 = 12 + 4\sqrt{3} - 4 - 4\sqrt{3}$

$c^2 = 8$

$c = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

したがって、$c=2\sqrt{2}$です。

次に、正弦定理を用いて角$A$を求めます。

正弦定理は、

$\frac{a}{\sin{A}} = \frac{c}{\sin{C}}$

です。

与えられた値を代入すると、

$\frac{2}{\sin{A}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin{45^\circ}}$

$\frac{2}{\sin{A}} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\frac{2}{\sin{A}} = 4$

$\sin{A} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

よって、$A = 30^\circ$または$150^\circ$です。

次に、角$B$を求めます。

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$B = 180^\circ - A - C$

$B = 180^\circ - A - 45^\circ$

$B = 135^\circ - A$

もし$A = 30^\circ$なら、$B = 135^\circ - 30^\circ = 105^\circ$

もし$A = 150^\circ$なら、$B = 135^\circ - 150^\circ = -15^\circ$となり、これは不適です。

したがって、$A = 30^\circ$で、$B = 105^\circ$です。

3. 最終的な答え

$c = 2\sqrt{2}$

$A = 30^\circ$

$B = 105^\circ$