(1) $0 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$ が成り立つことを示す。 (2) (1)の不等式を用いて $\frac{5}{8} < \log_e 2 < \frac{3}{4}$ であることを示す。

1. 問題の内容

(1) $0 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$ が成り立つことを示す。

(2) (1)の不等式を用いて $\frac{5}{8} < \log_e 2 < \frac{3}{4}$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$1+x \le \frac{1}{1-x}$ を示す。

これは、$0 \le x \le \frac{1}{2}$ より $1-x > 0$ なので、$1+x \le \frac{1}{1-x}$ の両辺に $1-x$ を掛けて、

$(1+x)(1-x) \le 1$

$1 - x^2 \le 1$

$-x^2 \le 0$

$x^2 \ge 0$

これは常に成り立つ。

次に、$\frac{1}{1-x} \le 1+2x$ を示す。

$1 \le (1+2x)(1-x)$

$1 \le 1 + 2x - x - 2x^2$

$0 \le x - 2x^2$

$0 \le x(1 - 2x)$

$0 \le x(1-2x)$

ここで、$0 \le x \le \frac{1}{2}$ なので、$x \ge 0$ かつ $1-2x \ge 0$ が成り立つから、$x(1-2x) \ge 0$ である。

よって、$1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$ が示された。

(2)

(1)の不等式より、$1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$ が成り立つ。

$x = \frac{1}{5}$ とすると、$0 \le x \le \frac{1}{2}$ を満たす。

このとき、$1+\frac{1}{5} \le \frac{1}{1-\frac{1}{5}} \le 1+2(\frac{1}{5})$

$\frac{6}{5} \le \frac{1}{\frac{4}{5}} \le \frac{7}{5}$

$\frac{6}{5} \le \frac{5}{4} \le \frac{7}{5}$

次に、$e^x$ のマクローリン展開を考える。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$

このとき、$e^x > 1+x$ が成り立つ。

$e^{2x} > 1 + 2x$ ではない。

$e^x$ は単調増加関数なので、$x \le y$ ならば $e^x \le e^y$ である。

(1)の不等式 $\frac{1}{1-x}$ を積分すると $\int \frac{1}{1-x} dx = - \log(1-x) + C$ となる。

$x = \frac{1}{8}$ とすると、

$1+\frac{1}{8} \le \frac{1}{1-\frac{1}{8}} \le 1 + 2(\frac{1}{8})$

$\frac{9}{8} \le \frac{8}{7} \le \frac{5}{4}$

$\frac{9}{8} \approx 1.125$

$\frac{8}{7} \approx 1.143$

$\frac{5}{4} = 1.25$

$x = \frac{1}{3}$ とする。このとき$1 + \frac{1}{3} \leq \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \leq 1 + \frac{2}{3}$ つまり$\frac{4}{3} \leq \frac{3}{2} \leq \frac{5}{3}$

つまり $1.33 \leq 1.5 \leq 1.67$

ここで $\log_e 2$ の値を評価する。

$2 = e^{\log_e 2}$ より、$\log_e 2$ がいくつの間にあるかを調べる。

$e^{5/8} = e^{0.625}$

$e^{3/4} = e^{0.75}$

$e^{0.625} < 2 < e^{0.75}$ を示す。

$e^{0.625} \approx 1 + 0.625 + \frac{(0.625)^2}{2!} + \frac{(0.625)^3}{3!} + ...$

$e^{0.75} \approx 1 + 0.75 + \frac{(0.75)^2}{2!} + \frac{(0.75)^3}{3!} + ...$

$x=\frac{1}{n}$として、$n$を大きくしていく。

$x=\frac{1}{6}$のとき

$\frac{7}{6} < \frac{6}{5} < \frac{4}{3}$となる。

$e = \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n$

$2 < e^{3/4}$を示す

両辺にlogをとって

$\log2 < \frac{3}{4}$

$5/8 = 0.625$

$3/4 = 0.75$

$\log2 \approx 0.693$

$5/8 < \log 2 < 3/4$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{8} < \log_e 2 < \frac{3}{4}$

(証明終わり)