与えられた関数 $y = \frac{5x - 2}{2x + 1}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{5x - 2}{2x + 1}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この関数は商の形をしているので、商の微分公式を使います。商の微分公式は、 $u(x)$ と $v(x)$ を $x$ の関数としたとき、

$\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

で与えられます。

この問題では、$u(x) = 5x - 2$ と $v(x) = 2x + 1$ です。

それぞれの導関数を求めます。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(5x - 2) = 5$

$v'(x) = \frac{d}{dx}(2x + 1) = 2$

これらの導関数と元の関数を商の微分公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{5(2x + 1) - (5x - 2)2}{(2x + 1)^2}$

分子を展開して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{10x + 5 - (10x - 4)}{(2x + 1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{10x + 5 - 10x + 4}{(2x + 1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{9}{(2x + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{9}{(2x + 1)^2}$