関数 $y = -x^2 + 3x + 6$ において、$y$ が最大となる $x$ の値と、そのときの $y$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 3x + 6$ において、$y$ が最大となる $x$ の値と、そのときの $y$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = -x^2 + 3x + 6$ は2次関数であり、 $x^2$ の係数が負であるため、上に凸の放物線となる。したがって、頂点で最大値をとる。

平方完成を行うことで頂点の座標を求める。

まず、$x$の項を平方完成するために、以下のように式を変形する。

$y = -(x^2 - 3x) + 6$

次に、$x^2 - 3x$ を平方完成する。

$x^2 - 3x = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$

この結果を元の式に代入すると、

$y = -((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + 6$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + 6$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + \frac{24}{4}$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{33}{4}$

したがって、頂点の座標は $(\frac{3}{2}, \frac{33}{4})$ である。

$y$ が最大となるのは $x = \frac{3}{2}$ のときであり、そのときの最大値は $y = \frac{33}{4}$ である。

3. 最終的な答え

$y$ が最大となる $x$ の値：$\frac{3}{2}$

そのときの $y$ の最大値：$\frac{33}{4}$