(1) 和積の公式 $cos A - cos B = -2 sin(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})$ を加法定理を用いて証明する。 (2) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ のとき、$cos 2\alpha = cos 3\alpha$ を満たす $\alpha$ を求める。 (3) (2) で求めた $\alpha$ に対して、$cos \alpha$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 和積の公式 $cos A - cos B = -2 sin(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})$ を加法定理を用いて証明する。

(2) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ のとき、$cos 2\alpha = cos 3\alpha$ を満たす $\alpha$ を求める。

(3) (2) で求めた $\alpha$ に対して、$cos \alpha$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 加法定理を用いて証明する。

$cos A = cos(\frac{A+B}{2} + \frac{A-B}{2})$

$cos B = cos(\frac{A+B}{2} - \frac{A-B}{2})$

加法定理より、

$cos(\frac{A+B}{2} + \frac{A-B}{2}) = cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2}) - sin(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})$

$cos(\frac{A+B}{2} - \frac{A-B}{2}) = cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2}) + sin(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})$

$cos A - cos B = cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2}) - sin(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2}) - [cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2}) + sin(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})]$

$cos A - cos B = -2 sin(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})$

(2) $cos 2\alpha = cos 3\alpha$ を満たす $\alpha$ を求める。

$cos 2\alpha = cos 3\alpha$

$cos 3\alpha - cos 2\alpha = 0$

和積の公式より、

$-2 sin(\frac{3\alpha+2\alpha}{2})sin(\frac{3\alpha-2\alpha}{2}) = 0$

$-2 sin(\frac{5\alpha}{2})sin(\frac{\alpha}{2}) = 0$

$sin(\frac{5\alpha}{2}) = 0$ または $sin(\frac{\alpha}{2}) = 0$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$ であるから、$sin(\frac{\alpha}{2}) \neq 0$

したがって、$sin(\frac{5\alpha}{2}) = 0$

$\frac{5\alpha}{2} = n\pi$ (nは整数)

$\alpha = \frac{2n\pi}{5}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$0 < \frac{2n\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$

$0 < \frac{2n}{5} < \frac{1}{2}$

$0 < n < \frac{5}{4} = 1.25$

したがって、$n=1$

$\alpha = \frac{2\pi}{5}$

(3) $cos \alpha$ の値を求める。

$\alpha = \frac{2\pi}{5}$

$cos (\frac{2\pi}{5}) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $cos A - cos B = -2 sin(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})$

(2) $\alpha = \frac{2\pi}{5}$

(3) $cos \alpha = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$