与えられた実数 $a$ に対して、方程式 $2\cos^2\theta - \sin\theta = a$ (1) が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲に異なる4つの解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。また、方程式(1)が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲に異なる3つの解をもつような $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた実数 $a$ に対して、方程式 $2\cos^2\theta - \sin\theta = a$ (1) が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲に異なる4つの解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。また、方程式(1)が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲に異なる3つの解をもつような $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いて、(1) の式を $\sin\theta$ で表す。

$2(1-\sin^2\theta) - \sin\theta = a$

$2 - 2\sin^2\theta - \sin\theta = a$

$2\sin^2\theta + \sin\theta + a - 2 = 0$

ここで $t = \sin\theta$ とおく。 $-1 \le t \le 1$

$2t^2 + t + a - 2 = 0$

$2t^2 + t = 2 - a$

$f(t) = 2t^2 + t$ とおく。 $f(t)$ は下に凸な放物線であり、軸は $t = -\frac{1}{4}$ である。

$f(-\frac{1}{4}) = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{4} = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} = -\frac{1}{8}$

また、$f(-1) = 2(-1)^2 + (-1) = 2 - 1 = 1$

$f(1) = 2(1)^2 + 1 = 2 + 1 = 3$

$y = f(t)$ と $y = 2-a$ の交点の個数で考える。

$t = \sin\theta$ なので、

$t = 1$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2}$ (1個)

$t = -1$ のとき、$\theta = \frac{3\pi}{2}$ (1個)

$-1 < t < 1$ のとき、$\theta$ は2個存在する。

(i) 異なる4つの解を持つとき

$f(t) = 2-a$ が、$-1 < t < 1$ の範囲で2つの異なる解を持つ必要がある。

$-\frac{1}{8} < 2-a < 1$

$-1 < a - 2 < \frac{1}{8}$

$1 < a < \frac{17}{8}$

(ii) 異なる3つの解を持つとき

$f(t) = 2-a$ が、$t=1$ または $t=-1$ を解に持ち、かつ $-1 < t < 1$ にもう一つの解を持つ必要がある。

(a) $2 - a = 1$ のとき、$a=1$

$2t^2 + t = 1$

$2t^2 + t - 1 = 0$

$(2t-1)(t+1) = 0$

$t = \frac{1}{2}, -1$

このとき、$t = \frac{1}{2}$ は $-1 < t < 1$ を満たすので、$\theta$ は2個、$t = -1$ より $\theta = \frac{3\pi}{2}$ (1個)。よって、$\theta$ は3個。

(b) $2 - a = 3$ のとき、$a=-1$

$2t^2 + t = 3$

$2t^2 + t - 3 = 0$

$(2t+3)(t-1) = 0$

$t = -\frac{3}{2}, 1$

$t = 1$ より $\theta = \frac{\pi}{2}$ (1個)。$t = -\frac{3}{2}$ は範囲外。よって、$\theta$ は1個。

したがって、$a = 1$ のとき、$\theta$ は3個。

3. 最終的な答え

異なる4つの解をもつような $a$ の値の範囲は、$1 < a < \frac{17}{8}$

異なる3つの解をもつような $a$ の値は、$a = 1$