与えられた実数 $a$ に対して、方程式 $2\cos^2\theta - \sin\theta = a$ (1) が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲に異なる4つの解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。また、(1) が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲に異なる3つの解をもつような $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた実数 $a$ に対して、方程式 $2\cos^2\theta - \sin\theta = a$ (1) が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲に異なる4つの解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。また、(1) が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲に異なる3つの解をもつような $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いて方程式を変形する。

$2(1 - \sin^2\theta) - \sin\theta = a$

$2 - 2\sin^2\theta - \sin\theta = a$

$2\sin^2\theta + \sin\theta + a - 2 = 0$

ここで、$t = \sin\theta$ とおく。すると、$-1 \le t \le 1$ である。方程式は以下のようになる。

$2t^2 + t + a - 2 = 0$

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 8(a-2)}}{4}$

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{17 - 8a}}{4}$

$f(t) = 2t^2 + t + a - 2 = 0$ とおくと、これは $t$ の2次方程式である。

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲において、$\sin\theta = t$ が異なる4つの解を持つためには、$f(t) = 0$ が $-1 < t < 1$ の範囲で異なる2つの解を持つ必要がある。

また、$\sin\theta=1$のとき$\theta = \frac{\pi}{2}$であり、$\sin\theta=-1$のとき$\theta = \frac{3\pi}{2}$となる。

従って、$f(1) = 0$ または $f(-1)=0$のときに、異なる3つの解を持つことになる。

$f(1) = 2 + 1 + a - 2 = a + 1 = 0$ より、$a = -1$

$f(-1) = 2 - 1 + a - 2 = a - 1 = 0$ より、$a = 1$

(i) 方程式が異なる4つの解を持つ条件：

$f(t) = 0$ が $-1 < t < 1$ の範囲に2つの異なる解を持つ。

判別式 $D > 0$, 軸 $-1 < -\frac{1}{4} < 1$, $f(1) > 0$, $f(-1) > 0$

$D = 1 - 8(a-2) = 17 - 8a > 0$ より、$a < \frac{17}{8}$

軸は $t = -\frac{1}{4}$ で、$-1 < -\frac{1}{4} < 1$ は満たされている。

$f(1) = a+1 > 0$ より、$a > -1$

$f(-1) = a-1 > 0$ より、$a > 1$

よって、$1 < a < \frac{17}{8}$

(ii) 方程式が異なる3つの解を持つ条件：

$a = 1$ のとき、$2t^2 + t - 1 = 0$ より、$(2t-1)(t+1) = 0$ なので、$t = \frac{1}{2}, -1$

$\sin\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$\sin\theta = -1$ のとき、$\theta = \frac{3\pi}{2}$

よって、$a = 1$ のとき、異なる3つの解を持つ。

$a = -1$ のとき、$2t^2 + t - 3 = 0$ より、$(2t+3)(t-1) = 0$ なので、$t = -\frac{3}{2}, 1$

$t = -\frac{3}{2}$ は $-1 \le t \le 1$ を満たさない。$\sin\theta = 1$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2}$

従って、$a = -1$ のとき、異なる1つの解を持つ。

3. 最終的な答え

異なる4つの解を持つ $a$ の範囲: $1 < a < \frac{17}{8}$

異なる3つの解を持つ $a$ の値: $a = 1$