$\sin\theta - \cos\theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ と $\sin^3\theta - \cos^3\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin\theta - \cos\theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ と $\sin^3\theta - \cos^3\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin\theta\cos\theta$ の値を求めます。

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = (\frac{2}{3})^2$ を計算します。

$\sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{4}{9}$

ここで、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ なので、

$1 - 2\sin\theta\cos\theta = \frac{4}{9}$

$2\sin\theta\cos\theta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\sin\theta\cos\theta = \frac{5}{18}$

次に、$\sin^3\theta - \cos^3\theta$ の値を求めます。

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = (\sin\theta - \cos\theta)(\sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$

$= (\sin\theta - \cos\theta)(1 + \sin\theta\cos\theta)$

$\sin\theta - \cos\theta = \frac{2}{3}$ であり、$\sin\theta\cos\theta = \frac{5}{18}$ なので、

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = \frac{2}{3}(1 + \frac{5}{18}) = \frac{2}{3}(\frac{18+5}{18}) = \frac{2}{3}(\frac{23}{18}) = \frac{2 \times 23}{3 \times 18} = \frac{46}{54} = \frac{23}{27}$

3. 最終的な答え

$\sin\theta\cos\theta = \frac{5}{18}$

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = \frac{23}{27}$