与えられた関数 $y$ を $x$ の関数として微分します。具体的には以下の3つの関数について微分を求めます。 (i) $y = \csc x$ (ii) $y = \sec x$ (iii) $y = \cot x$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ を $x$ の関数として微分します。具体的には以下の3つの関数について微分を求めます。

(i) $y = \csc x$

(ii) $y = \sec x$

(iii) $y = \cot x$

2. 解き方の手順

(i) $y = \csc x$ の微分

$\csc x = \frac{1}{\sin x}$ であることを利用して、商の微分公式を使います。

商の微分公式は $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

$u = 1$, $v = \sin x$ とすると、$u' = 0$, $v' = \cos x$ となります。

したがって、

$\frac{d}{dx} \csc x = \frac{0 \cdot \sin x - 1 \cdot \cos x}{\sin^2 x} = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sin x} = -\cot x \csc x$

(ii) $y = \sec x$ の微分

$\sec x = \frac{1}{\cos x}$ であることを利用して、商の微分公式を使います。

$u = 1$, $v = \cos x$ とすると、$u' = 0$, $v' = -\sin x$ となります。

したがって、

$\frac{d}{dx} \sec x = \frac{0 \cdot \cos x - 1 \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \tan x \sec x$

(iii) $y = \cot x$ の微分

$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ であることを利用して、商の微分公式を使います。

$u = \cos x$, $v = \sin x$ とすると、$u' = -\sin x$, $v' = \cos x$ となります。

したがって、

$\frac{d}{dx} \cot x = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$

3. 最終的な答え

(i) $\frac{d}{dx} \csc x = -\cot x \csc x$

(ii) $\frac{d}{dx} \sec x = \tan x \sec x$

(iii) $\frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x$