すべての実数 $x$ に対して、関数 $f(x)$ が $f(x) = \sin \pi x + \int_0^1 t f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ に対して、関数 $f(x)$ が $f(x) = \sin \pi x + \int_0^1 t f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式は、

$f(x) = \sin \pi x + \int_0^1 t f(t) dt$

である。$\int_0^1 t f(t) dt$ は定数なので、これを $A$ とおく。

$A = \int_0^1 t f(t) dt$

すると、$f(x)$ は次のように表される。

$f(x) = \sin \pi x + A$

この式を $A$ の定義に代入すると、

$A = \int_0^1 t (\sin \pi t + A) dt$

$A = \int_0^1 t \sin \pi t dt + \int_0^1 t A dt$

$A = \int_0^1 t \sin \pi t dt + A \int_0^1 t dt$

ここで、$I = \int_0^1 t \sin \pi t dt$ を計算する。部分積分を用いる。

$u = t, dv = \sin \pi t dt$ とすると、$du = dt, v = -\frac{1}{\pi} \cos \pi t$ となる。

$I = \left[ -\frac{t}{\pi} \cos \pi t \right]_0^1 - \int_0^1 -\frac{1}{\pi} \cos \pi t dt$

$I = -\frac{1}{\pi} \cos \pi - 0 + \frac{1}{\pi} \int_0^1 \cos \pi t dt$

$I = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi} \left[ \frac{1}{\pi} \sin \pi t \right]_0^1$

$I = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi^2} (\sin \pi - \sin 0)$

$I = \frac{1}{\pi} + 0 = \frac{1}{\pi}$

次に、$\int_0^1 t dt$ を計算する。

$\int_0^1 t dt = \left[ \frac{1}{2} t^2 \right]_0^1 = \frac{1}{2}$

したがって、$A$ の式は次のようになる。

$A = \frac{1}{\pi} + A \cdot \frac{1}{2}$

$A - \frac{1}{2} A = \frac{1}{\pi}$

$\frac{1}{2} A = \frac{1}{\pi}$

$A = \frac{2}{\pi}$

$f(x) = \sin \pi x + A$ に $A = \frac{2}{\pi}$ を代入すると、

$f(x) = \sin \pi x + \frac{2}{\pi}$

3. 最終的な答え

$f(x) = \sin \pi x + \frac{2}{\pi}$