曲線 $C: y = -x^3 + 3x^2 + 3x - 4$ と直線 $l: y = 2x - 1$ の共有点の $x$ 座標を求め、曲線 $C$ と直線 $l$ によって囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = -x^3 + 3x^2 + 3x - 4$ と直線 $l: y = 2x - 1$ の共有点の $x$ 座標を求め、曲線 $C$ と直線 $l$ によって囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $C$ と直線 $l$ の共有点の $x$ 座標を求める。

$y$ の値を等しいとおくと、

$$-x^3 + 3x^2 + 3x - 4 = 2x - 1$$

$$-x^3 + 3x^2 + x - 3 = 0$$

$$x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$$

$$x^2(x-3) - (x-3) = 0$$

$$(x^2 - 1)(x-3) = 0$$

$$(x-1)(x+1)(x-3) = 0$$

よって、$x = -1, 1, 3$。

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた部分の面積を求める。

$$-x^3 + 3x^2 + 3x - 4 - (2x - 1) = -x^3 + 3x^2 + x - 3$$

$$= -(x-1)(x+1)(x-3)$$

$x$ が $-1$ から $1$ の範囲では、曲線 $C$ が直線 $l$ の上にある。

$x$ が $1$ から $3$ の範囲では、直線 $l$ が曲線 $C$ の上にある。

したがって、求める面積は

$$S = \int_{-1}^{1} (-x^3 + 3x^2 + x - 3) dx + \int_{1}^{3} (-( -x^3 + 3x^2 + x - 3 )) dx$$

$$= \int_{-1}^{1} (-x^3 + 3x^2 + x - 3) dx - \int_{1}^{3} ( -x^3 + 3x^2 + x - 3) dx$$

$$= \left[ -\frac{1}{4} x^4 + x^3 + \frac{1}{2} x^2 - 3x \right]_{-1}^{1} - \left[ -\frac{1}{4} x^4 + x^3 + \frac{1}{2} x^2 - 3x \right]_{1}^{3}$$

$$= \left( -\frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2} - 3 \right) - \left( -\frac{1}{4} - 1 + \frac{1}{2} + 3 \right) - \left[ \left( -\frac{81}{4} + 27 + \frac{9}{2} - 9 \right) - \left( -\frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2} - 3 \right) \right]$$

$$= \left( -\frac{9}{4} \right) - \left( \frac{9}{4} \right) - \left[ \left( -\frac{81}{4} + \frac{108}{4} + \frac{18}{4} - \frac{36}{4} \right) - \left( -\frac{9}{4} \right) \right]$$

$$= -\frac{18}{4} - \left( \frac{9}{4} + \frac{9}{4} \right) = -\frac{9}{2} - \frac{18}{4} = -\frac{9}{2} - \frac{9}{2} = -9$$

面積は負にならないので、絶対値を取ると、面積は $|-9| = 8$.

$S = \int_{-1}^{1} (-x^3 + 3x^2 + x - 3) dx + \int_{1}^{3} (x^3 - 3x^2 - x + 3) dx = 4 + 4 = 8$

$S = \int_{-1}^1 (-x^3 + 3x^2 + x - 3 - (2x-1))dx + \int_1^3 (2x - 1 - (-x^3 + 3x^2 + x - 3))dx$

$S = \int_{-1}^1 (-x^3 + 3x^2 - x - 2)dx + \int_1^3 (x^3 - 3x^2 + x + 2)dx = (-x^4/4 + x^3 - x^2/2 - 2x) + (x^4/4 - x^3 + x^2/2 + 2x)$

3. 最終的な答え

共有点の $x$ 座標: $-1, 1, 3$

面積: $4$