$\ln(ab) - 2\ln a + 3\ln b$ を計算せよ。

## 問題３の解答

1. 問題の内容

$\ln(ab) - 2\ln a + 3\ln b$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

対数の性質を利用して式を簡単にする。

まず、対数の積の性質 $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ を使う。

次に、対数の係数の性質 $c \ln x = \ln(x^c)$ を使う。

最後に、対数の和と差を組み合わせて計算する。

$\ln(ab) - 2\ln a + 3\ln b = \ln a + \ln b - 2\ln a + 3\ln b$

$= \ln a + \ln b - \ln(a^2) + \ln(b^3)$

$= (\ln a - \ln(a^2)) + (\ln b + \ln(b^3))$

$= \ln(\frac{a}{a^2}) + \ln(b \cdot b^3)$

$= \ln(\frac{1}{a}) + \ln(b^4)$

$= \ln(\frac{1}{a} \cdot b^4)$

$= \ln(\frac{b^4}{a})$

3. 最終的な答え

$\ln(\frac{b^4}{a})$

## 問題4の解答

1. 問題の内容

$f(x) = e^{\sqrt{x}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を行う。

$f(x) = e^{\sqrt{x}}$ の微分は、$e^u$ を $u = \sqrt{x}$ で微分する。

まず、$e^u$ を $u$ で微分すると、$e^u$ である。

次に、$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ を $x$ で微分すると、$\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ である。

よって、$f'(x) = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

## 問題5の解答

1. 問題の内容

$f(x) = \sqrt{x+1}(x+2)$ を積分せよ。

2. 解き方の手順

積分を計算する。

$f(x) = (x+1)^{\frac{1}{2}}(x+2)$

$f(x) = (x+1)^{\frac{1}{2}}(x+1+1)$

$f(x) = (x+1)^{\frac{3}{2}}+(x+1)^{\frac{1}{2}}$

$\int f(x) dx = \int (x+1)^{\frac{3}{2}}dx + \int (x+1)^{\frac{1}{2}}dx$

$\int (x+1)^{\frac{3}{2}} dx = \frac{(x+1)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}}$

$\int (x+1)^{\frac{1}{2}} dx = \frac{(x+1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}$

$\int f(x) dx = \frac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C$

$= \frac{2}{15}(x+1)^{\frac{3}{2}}(3(x+1)+5)+C$

$= \frac{2}{15}(x+1)^{\frac{3}{2}}(3x+8)+C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{15}(3x+8)(x+1)^{\frac{3}{2}} + C$