関数 $f(x) = e^{\sqrt{x}}$ を微分してください。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{\sqrt{x}}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を行います。

まず、外側の関数を $e^u$、内側の関数を $u = \sqrt{x}$ とします。

外側の関数の微分は、

$\frac{d}{du}(e^u) = e^u$

です。

内側の関数の微分は、

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

です。

合成関数の微分則より、

$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{du}(e^u) \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = e^u \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

となります。

$u = \sqrt{x}$ を代入して、

$\frac{d}{dx}f(x) = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

となります。

したがって、

$f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

となります。

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$