関数 $f(x) = \sqrt{x+1}(x+2)$ の不定積分を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{x+1}(x+2)$ の不定積分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = x+1$ と置換します。すると、$x = t-1$ となり、$dx = dt$ となります。

$x+2 = (t-1)+2 = t+1$ となります。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int \sqrt{x+1}(x+2) dx = \int \sqrt{t}(t+1) dt = \int (t^{1/2}(t+1)) dt = \int (t^{3/2} + t^{1/2}) dt$

次に、各項を積分します。

$\int t^{3/2} dt = \frac{t^{5/2}}{5/2} + C_1 = \frac{2}{5} t^{5/2} + C_1$

$\int t^{1/2} dt = \frac{t^{3/2}}{3/2} + C_2 = \frac{2}{3} t^{3/2} + C_2$

よって、

$\int (t^{3/2} + t^{1/2}) dt = \frac{2}{5} t^{5/2} + \frac{2}{3} t^{3/2} + C$

ここで、$t = x+1$ を代入します。

$\frac{2}{5} (x+1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} + C$

$(x+1)^{3/2}$ でくくると、

$(x+1)^{3/2}(\frac{2}{5}(x+1) + \frac{2}{3}) + C$

$(x+1)^{3/2}(\frac{2}{5}x + \frac{2}{5} + \frac{2}{3}) + C$

$(x+1)^{3/2}(\frac{2}{5}x + \frac{6+10}{15}) + C$

$(x+1)^{3/2}(\frac{2}{5}x + \frac{16}{15}) + C$

$\frac{2}{15}(x+1)^{3/2}(3x + 8) + C$

3. 最終的な答え

$\int \sqrt{x+1}(x+2) dx = \frac{2}{15}(3x+8)(x+1)^{3/2} + C$