与えられた関数について、$\frac{dy}{dx}$ を求めよ。 (1) $x = 2y^2 + 3\sqrt{y}$ (2) $\tan{x} + \frac{\log{y}}{3\sqrt{y}} = 5$

1. 問題の内容

与えられた関数について、$\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

(1) $x = 2y^2 + 3\sqrt{y}$

(2) $\tan{x} + \frac{\log{y}}{3\sqrt{y}} = 5$

2. 解き方の手順

(1) $x = 2y^2 + 3\sqrt{y}$ を $x$ で微分する。

$\frac{dx}{dx} = \frac{d}{dx}(2y^2) + \frac{d}{dx}(3\sqrt{y})$

$1 = 4y \frac{dy}{dx} + \frac{3}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}$ について解く。

$1 = \frac{dy}{dx}(4y + \frac{3}{2\sqrt{y}})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y + \frac{3}{2\sqrt{y}}}$

(2) $\tan{x} + \frac{\log{y}}{3\sqrt{y}} = 5$ を $x$ で微分する。

$\frac{d}{dx}(\tan{x}) + \frac{d}{dx}(\frac{\log{y}}{3\sqrt{y}}) = \frac{d}{dx}(5)$

$\frac{1}{\cos^2{x}} + \frac{1}{3} \frac{\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} \sqrt{y} - \log{y} \frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}}{y} = 0$

$\frac{1}{\cos^2{x}} + \frac{1}{3} \frac{\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{dy}{dx} - \frac{\log{y}}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}}{y} = 0$

$\frac{1}{\cos^2{x}} + \frac{1}{3} \frac{\frac{dy}{dx}}{y\sqrt{y}} (1 - \frac{\log{y}}{2}) = 0$

$\frac{1}{\cos^2{x}} + \frac{1}{3} \frac{\frac{dy}{dx}}{y^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 - \log{y}}{2}) = 0$

$\frac{1}{\cos^2{x}} + \frac{dy}{dx} \frac{2 - \log{y}}{6y^{\frac{3}{2}}} = 0$

$\frac{dy}{dx} \frac{2 - \log{y}}{6y^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{\cos^2{x}}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{6y^{\frac{3}{2}}}{\cos^2{x}(2 - \log{y})}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y + \frac{3}{2\sqrt{y}}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{6y^{\frac{3}{2}}}{\cos^2{x}(2 - \log{y})}$