与えられた関数を微分して、$y'$を求めます。問題は3つの小問から構成されています。 (1) $y = \frac{1}{2}x(\log(3x) - 1)$ (2) $y = e^{2x}\cos^2(x)$ (3) $y = \frac{\sqrt{x}}{2}e^{x^2 + 2x}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分して、$y'$を求めます。問題は3つの小問から構成されています。

(1) $y = \frac{1}{2}x(\log(3x) - 1)$

(2) $y = e^{2x}\cos^2(x)$

(3) $y = \frac{\sqrt{x}}{2}e^{x^2 + 2x}$

2. 解き方の手順

(1)

積の微分公式を利用します。$(uv)' = u'v + uv'$

$u = \frac{1}{2}x$, $v = \log(3x) - 1$

$u' = \frac{1}{2}$

$v' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$

よって、

$y' = \frac{1}{2}(\log(3x) - 1) + \frac{1}{2}x \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2}\log(3x) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\log(3x)$

(2)

積の微分公式と合成関数の微分公式を利用します。

$u = e^{2x}$, $v = \cos^2(x)$

$u' = 2e^{2x}$

$v' = 2\cos(x)(-\sin(x)) = -2\cos(x)\sin(x)$

よって、

$y' = 2e^{2x}\cos^2(x) + e^{2x}(-2\cos(x)\sin(x)) = 2e^{2x}\cos^2(x) - 2e^{2x}\cos(x)\sin(x) = 2e^{2x}\cos(x)(\cos(x) - \sin(x))$

(3)

積の微分公式と合成関数の微分公式を利用します。

$u = \frac{\sqrt{x}}{2}$, $v = e^{x^2 + 2x}$

$u' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{4\sqrt{x}}$

$v' = e^{x^2 + 2x}(2x + 2)$

よって、

$y' = \frac{1}{4\sqrt{x}} e^{x^2 + 2x} + \frac{\sqrt{x}}{2} e^{x^2 + 2x} (2x + 2) = e^{x^2 + 2x}(\frac{1}{4\sqrt{x}} + \sqrt{x}(x+1)) = e^{x^2 + 2x}(\frac{1}{4\sqrt{x}} + x\sqrt{x} + \sqrt{x}) = e^{x^2 + 2x}(\frac{1}{4\sqrt{x}} + \frac{x\sqrt{x}\cdot 4\sqrt{x}}{4\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} \cdot 4\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}) = e^{x^2 + 2x}(\frac{1}{4\sqrt{x}} + \frac{4x^2}{4\sqrt{x}} + \frac{4x}{4\sqrt{x}}) = \frac{e^{x^2 + 2x}}{4\sqrt{x}}(1 + 4x + 4x^2)$

$y' = e^{x^2 + 2x}(\frac{1}{4}x^{-1/2} + x^{1/2}(x + 1)) = e^{x^2 + 2x} (\frac{1}{4}x^{-1/2} + x^{3/2} + x^{1/2})$

$y' = \frac{1}{4\sqrt{x}}e^{x^2 + 2x} + \frac{\sqrt{x}}{2} (2x+2)e^{x^2 + 2x} = e^{x^2 + 2x}(\frac{1}{4\sqrt{x}} + (x+1)\sqrt{x})$

$= e^{x^2+2x}(\frac{1}{4\sqrt{x}} + x^{3/2} + x^{1/2})$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{1}{2}\log(3x)$

(2) $y' = 2e^{2x}\cos(x)(\cos(x) - \sin(x))$

(3) $y' = e^{x^2 + 2x}(\frac{1}{4\sqrt{x}} + x^{3/2} + x^{1/2})$ または $y' = e^{x^2 + 2x}(\frac{1}{4}x^{-1/2} + x^{3/2} + x^{1/2})$

画像の解答欄を埋めると：

(1) 1/2

(2) 2

(3) 1/4

(4) 4