曲線 $y = x^3 - 4x$ と、その曲線上の点 $(1, -3)$ における接線で囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 4x$ と、その曲線上の点 $(1, -3)$ における接線で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 接線を求める。

まず、$y = x^3 - 4x$ を微分して、$y'$ を求める。

$y' = 3x^2 - 4$

点 $(1, -3)$ における接線の傾きは、$y'|_{x=1} = 3(1)^2 - 4 = 3 - 4 = -1$。

よって、接線の方程式は、

$y - (-3) = -1(x - 1)$

$y + 3 = -x + 1$

$y = -x - 2$

(2) 曲線と接線の交点を求める。

$x^3 - 4x = -x - 2$

$x^3 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x^2 + x - 2) = 0$

$(x - 1)(x - 1)(x + 2) = 0$

$(x - 1)^2(x + 2) = 0$

$x = 1, -2$

交点の $x$ 座標は、$x = 1, -2$ である。

(3) 面積を求める。

求める面積は、$\int_{-2}^{1} |(x^3 - 4x) - (-x - 2)| dx$ で与えられる。

$-2 \le x \le 1$ において、$x^3 - 4x \ge -x - 2$ であるため、$|(x^3 - 4x) - (-x - 2)| = x^3 - 3x + 2$ となる。

したがって、面積 $S$ は、

$S = \int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2) dx$

$S = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_{-2}^{1}$

$S = \left( \frac{1}{4}(1)^4 - \frac{3}{2}(1)^2 + 2(1) \right) - \left( \frac{1}{4}(-2)^4 - \frac{3}{2}(-2)^2 + 2(-2) \right)$

$S = \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{4}(16) - \frac{3}{2}(4) - 4 \right)$

$S = \left( \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{8}{4} \right) - \left( 4 - 6 - 4 \right)$

$S = \frac{3}{4} - (-6) = \frac{3}{4} + 6 = \frac{3}{4} + \frac{24}{4} = \frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{27}{4}$