問題は2つあります。1つ目はネイピア数 $e$ の定義を述べること、2つ目は数列 $a_n = (1 + \frac{4}{n})^n$ の極限を求めることです。

1. 問題の内容

問題は2つあります。1つ目はネイピア数 $e$ の定義を述べること、2つ目は数列 $a_n = (1 + \frac{4}{n})^n$ の極限を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、ネイピア数の定義を述べます。

次に、数列 $a_n = (1 + \frac{4}{n})^n$ の極限を求めます。

$m = \frac{n}{4}$ とおくと、$n = 4m$ です。

したがって、

$a_n = (1 + \frac{1}{m})^{4m} = [(1 + \frac{1}{m})^m]^4$

$n \to \infty$ のとき、$m \to \infty$ なので、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{m \to \infty} [(1 + \frac{1}{m})^m]^4 = [\lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^m]^4 = e^4$

3. 最終的な答え

ネイピア数 $e$ の定義：

$e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$

数列 $a_n = (1 + \frac{4}{n})^n$ の極限：

$\lim_{n \to \infty} a_n = e^4$