次の数列 $\{a_n\}$ の極限を求めよ。 (1) $a_n = (1 + \frac{4}{n})^n$ (2) $a_n = \frac{3n + 1}{2n}$ (3) $a_n = \frac{2^n + e^n}{2^n - e^n}$

1. 問題の内容

次の数列 $\{a_n\}$ の極限を求めよ。

(1) $a_n = (1 + \frac{4}{n})^n$

(2) $a_n = \frac{3n + 1}{2n}$

(3) $a_n = \frac{2^n + e^n}{2^n - e^n}$

2. 解き方の手順

(1) $a_n = (1 + \frac{4}{n})^n$ の極限を求める。

$y = \frac{n}{4}$ と置くと、$n = 4y$ となる。$n \to \infty$ のとき、$y \to \infty$。

$a_n = (1 + \frac{1}{y})^{4y} = ((1 + \frac{1}{y})^y)^4$

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{y \to \infty} ((1 + \frac{1}{y})^y)^4 = (\lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^y)^4 = e^4$

(2) $a_n = \frac{3n + 1}{2n}$ の極限を求める。

$a_n = \frac{3n + 1}{2n} = \frac{3 + \frac{1}{n}}{2}$

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{3 + 0}{2} = \frac{3}{2}$

(3) $a_n = \frac{2^n + e^n}{2^n - e^n}$ の極限を求める。

$a_n = \frac{2^n + e^n}{2^n - e^n} = \frac{(\frac{2}{e})^n + 1}{(\frac{2}{e})^n - 1}$

$2 < e$ であるから、$\frac{2}{e} < 1$。したがって、$\lim_{n \to \infty} (\frac{2}{e})^n = 0$。

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{2}{e})^n + 1}{(\frac{2}{e})^n - 1} = \frac{0 + 1}{0 - 1} = -1$

3. 最終的な答え

(1) $e^4$

(2) $\frac{3}{2}$

(3) $-1$