与えられた関数 $y = f(x) = \sin(x^3)$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = f(x) = \sin(x^3)$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

合成関数の微分（チェインルール）を使用します。チェインルールは、関数 $y = f(g(x))$ の導関数が $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$ で与えられるというものです。

まず、$g(x) = x^3$ とおくと、$y = \sin(g(x))$ となります。

$g(x)$ の導関数は、

$\frac{dg}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$

$y = \sin(g(x))$ の $g$ に関する導関数は、

$\frac{dy}{dg} = \frac{d}{dg}(\sin(g)) = \cos(g)$

したがって、チェインルールより、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} = \cos(g) \cdot 3x^2 = \cos(x^3) \cdot 3x^2$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 \cos(x^3)$