与えられた式 $3a^2 + 2c^2 + 2ab - 4bc - 7ca$ を因数分解し、与えられた選択肢から適切な組み合わせを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $3a^2 + 2c^2 + 2ab - 4bc - 7ca$ を因数分解し、与えられた選択肢から適切な組み合わせを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解します。

まず、$a$ について整理します。

$3a^2 + (2b - 7c)a + (2c^2 - 4bc)$

次に、定数項 $2c^2 - 4bc$ を因数分解します。

$2c^2 - 4bc = 2c(c - 2b)$

因数分解された式を、元の式に代入します。

$3a^2 + (2b - 7c)a + 2c(c - 2b)$

この式を因数分解するには、$(3a + X)(a + Y)$の形を考えます。

$XY = 2c(c-2b)$ と $3Y + X = 2b - 7c$ を満たす $X$ と $Y$ を探します。

$X = 2c$ 、$Y = c-2b$ とすると、

$3(c-2b) + 2c = 3c - 6b + 2c = 5c - 6b$ となり、$2b-7c$ とは一致しません。

$X = c-2b$ , $Y = 2c$ とすると、

$3(2c) + c-2b = 6c + c - 2b = 7c - 2b = -(2b - 7c)$ となり、$2b-7c$ と符号が違います。

しかし、$3a^2 + (2b - 7c)a + 2c(c - 2b) = 3a^2 + (2b - 7c)a -2c(2b - c)$ であるから、

$(3a + 2c - c)(a - 2c + 2c)$ と推測でき、$2b-7c$ となる。

そこで、

$(3a - 2c)(a + c - 2b) = 3a^2 + 3ac - 6ab - 2ac - 2c^2 + 4bc = 3a^2 + ac - 6ab - 2c^2 + 4bc$ となり、元の式とは一致しません。

$(3a+b-c)(a-2c)$ を展開すると、

$3a^2 - 6ac + ab - 2bc - ac + 2c^2 = 3a^2 - 7ac + ab - 2bc + 2c^2$ となり、$2ab - 4bc$　ではない。

$(3a+2b-c)(a-2c)$ を展開すると、

$3a^2 - 6ac + 2ab - 4bc - ac + 2c^2 = 3a^2 - 7ac + 2ab - 4bc + 2c^2$ となり、元の式と同じです。

したがって、$3a^2 + 2c^2 + 2ab - 4bc - 7ca = (3a+2b-c)(a-2c)$となります。

選択肢の中から、

$3a+2b-c$ は選択肢4にあり、

$a-2c$ は選択肢2にあります。

3. 最終的な答え

17: 4

18: 2