$a$ と $b$ は100以下の正の整数であり、$b < a$を満たす。$\frac{a+1}{b+1}$ と $\frac{a}{b}$ がともに整数となるような整数の組 $(a, b)$ の個数を求める。

1. 問題の内容

$a$ と $b$ は100以下の正の整数であり、$b < a$を満たす。$\frac{a+1}{b+1}$ と $\frac{a}{b}$ がともに整数となるような整数の組 $(a, b)$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

$\frac{a}{b} = m$ (m は整数)とおくと、$a = bm$ となる。

$\frac{a+1}{b+1} = n$ (n は整数)とおくと、$a+1 = n(b+1)$ となる。

$a = bm$を $a+1 = n(b+1)$ に代入すると、$bm + 1 = n(b+1)$ となる。

$bm + 1 = nb + n$ より、 $bm - nb = n - 1$

$b(m - n) = n - 1$

$b = \frac{n-1}{m-n}$ となる。ここで、$b$ は正の整数なので、$\frac{n-1}{m-n}$ は正の整数である必要がある。

$b > 0$ より、$n-1 > 0$ かつ $m-n > 0$ または $n-1 < 0$ かつ $m-n < 0$。

$n-1>0$の場合、$n > 1$ かつ $m > n$。

$n-1<0$の場合、$n < 1$ かつ $m < n$。$n$ は整数なので、$n$ は $0$ 以下となる必要がある。ところが$\frac{a+1}{b+1} = n$ であり、$a, b$ は正の整数なので$n > 0$。よって$n-1<0$の場合はありえない。

よって、$n > 1$ かつ $m > n$ である。

$b = \frac{n-1}{m-n} \le 100$

$a = bm \le 100$ なので、$m\frac{n-1}{m-n} \le 100$

$a>b$より、$m>1$

$b = \frac{n-1}{m-n}$ より、$m-n = \frac{n-1}{b}$

$m = n + \frac{n-1}{b}$

$a = bm = b(n + \frac{n-1}{b}) = bn + n - 1 = n(b+1) - 1$

$\frac{a+1}{b+1} = n$ より、$a+1 = n(b+1)$

$a = bn + n - 1 \le 100$

$n(b+1) \le 101$

$b < a \le 100$ なので、$1 \le b \le 100$ 。また、$n > 1$ なので、$n \ge 2$。

$n=2$ のとき、$2(b+1) \le 101$ より、$b+1 \le 50.5$ なので、$b \le 49$

$b = \frac{n-1}{m-n} = \frac{1}{m-2}$ より、$m-2 = \frac{1}{b}$ 。$b$ は正の整数なので、$b=1$ であり、$m=3$。

$a = bm = 3$ 。$b<a$を満たしているので、$(3,1)$ は解である。

$b=1$ のとき、$n(1+1) \le 101$ より、$n \le 50.5$ なので、$n \le 50$

$b=2$ のとき、$n(2+1) \le 101$ より、$n \le 33.66...$ なので、$n \le 33$

$b=3$ のとき、$n(3+1) \le 101$ より、$n \le 25.25$ なので、$n \le 25$

$b = \frac{n-1}{m-n}$ より、$b(m-n) = n-1$ なので、$m-n = \frac{n-1}{b}$

$m = n + \frac{n-1}{b}$

$m$ は整数なので、$\frac{n-1}{b}$ は整数である必要がある。

$n-1 = kb$ (k は整数) より、$n = kb+1$

$n(b+1) \le 101$ より、$(kb+1)(b+1) \le 101$

$a=bm= b(n + \frac{n-1}{b}) = bn + n - 1 = n(b+1) - 1 = (kb+1)(b+1) - 1 = kb^2 + kb + b + 1 - 1 = kb(b+1)$

$kb(b+1) \le 100$

$b=1$のとき、$2k \le 100$ より、$k \le 50$。ただし、$n = k+1>1$なので、$k>0$。よって$1 \le k \le 50$。個数は50。

$b=2$のとき、$6k \le 100$ より、$k \le 16.66...$。$n = 2k+1>1$なので、$k>0$。よって$1 \le k \le 16$。個数は16。

$b=3$のとき、$12k \le 100$ より、$k \le 8.33...$。$n = 3k+1>1$なので、$k>0$。よって$1 \le k \le 8$。個数は8。

$b=4$のとき、$20k \le 100$ より、$k \le 5$。$n = 4k+1>1$なので、$k>0$。よって$1 \le k \le 5$。個数は5。

$b=5$のとき、$30k \le 100$ より、$k \le 3.33...$。$n = 5k+1>1$なので、$k>0$。よって$1 \le k \le 3$。個数は3。

$b=6$のとき、$42k \le 100$ より、$k \le 2.38...$。$n = 6k+1>1$なので、$k>0$。よって$1 \le k \le 2$。個数は2。

$b=7$のとき、$56k \le 100$ より、$k \le 1.78...$。$n = 7k+1>1$なので、$k>0$。よって$k=1$。個数は1。

$b=8$のとき、$72k \le 100$ より、$k \le 1.38...$。$n = 8k+1>1$なので、$k>0$。よって$k=1$。個数は1。

$b=9$のとき、$90k \le 100$ より、$k \le 1.11...$。$n = 9k+1>1$なので、$k>0$。よって$k=1$。個数は1。

$b=10$のとき、$110k \le 100$ は成り立たないので、0個。

合計は $50+16+8+5+3+2+1+1+1=87$

3. 最終的な答え

87個