$\frac{770}{n}$ が素数となるような自然数 $n$ を全て求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{770}{n}$ が素数となるような自然数 $n$ を全て求めよ。

2. 解き方の手順

まず、770を素因数分解します。

$770 = 2 \times 5 \times 7 \times 11$

$\frac{770}{n}$ が素数 $p$ となるとき、 $770 = n \times p$ となります。

つまり、$n$ は770の約数であり、かつ $\frac{770}{n}$ が素数となる必要があります。

$n$ は $770 = 2 \times 5 \times 7 \times 11$ の約数なので、以下のケースを考えます。

* $\frac{770}{n} = 2$ のとき、$n = \frac{770}{2} = 385 = 5 \times 7 \times 11$

* $\frac{770}{n} = 5$ のとき、$n = \frac{770}{5} = 154 = 2 \times 7 \times 11$

* $\frac{770}{n} = 7$ のとき、$n = \frac{770}{7} = 110 = 2 \times 5 \times 11$

* $\frac{770}{n} = 11$ のとき、$n = \frac{770}{11} = 70 = 2 \times 5 \times 7$

以上より、$n$ は $385, 154, 110, 70$ です。

3. 最終的な答え

$n = 70, 110, 154, 385$