問題は以下の通りです。 $f(x)$ は $n$ 次の多項式で、$f(x) = x^n - nx + n - 1$ とする。ただし、$n \geq 2$ とする。 (1) $(x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$ を簡単にせよ。 (2) $f(x)$ は $(x-1)$ で割り切れることを示し、その商の多項式 $g(x)$ を求めよ。 (3) $g(x)$ は $(x-1)$ で割り切れることを示し、その商の多項式 $h(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

$f(x)$ は $n$ 次の多項式で、$f(x) = x^n - nx + n - 1$ とする。ただし、$n \geq 2$ とする。

(1) $(x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$ を簡単にせよ。

(2) $f(x)$ は $(x-1)$ で割り切れることを示し、その商の多項式 $g(x)$ を求めよ。

(3) $g(x)$ は $(x-1)$ で割り切れることを示し、その商の多項式 $h(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $(x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$ を展開し、計算します。

$(x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x - (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^5 - 1$

(2) $f(x) = x^n - nx + n - 1$ が $(x-1)$ で割り切れることを示すために、$f(1) = 0$ を示します。

$f(1) = 1^n - n(1) + n - 1 = 1 - n + n - 1 = 0$

したがって、$f(x)$ は $(x-1)$ で割り切れます。

$f(x)$ を $(x-1)$ で割った商 $g(x)$ を求めます。

$f(x) = x^n - nx + n - 1 = x^n - 1 - n(x - 1) = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1) - n(x - 1)$

$f(x) = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1 - n)$

したがって、$g(x) = x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1 - n$

(3) $g(x) = x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1 - n$ が $(x-1)$ で割り切れることを示すために、$g(1) = 0$ を示します。

$g(1) = 1^{n-1} + 1^{n-2} + \dots + 1 + 1 - n = (n-1) + 1 - n = n - n = 0$

したがって、$g(x)$ は $(x-1)$ で割り切れます。

$g(x)$ を $(x-1)$ で割った商 $h(x)$ を求めます。

$g(x) = x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1 - n = (x^{n-1} - 1) + (x^{n-2} - 1) + \dots + (x - 1) + (1 - 1)$

$g(x) = (x-1)(x^{n-2} + x^{n-3} + \dots + x + 1) + (x-1)(x^{n-3} + x^{n-4} + \dots + x + 1) + \dots + (x-1)(1)$

$g(x) = (x-1) \sum_{k=1}^{n-1} \sum_{j=0}^{k-1} x^j = (x-1) h(x)$

$h(x) = \sum_{k=1}^{n-1} \sum_{j=0}^{k-1} x^j$

3. 最終的な答え

(1) $x^5 - 1$

(2) $g(x) = x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1 - n$

(3) $h(x) = \sum_{k=1}^{n-1} \sum_{j=0}^{k-1} x^j$